Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26600 / 30761
↖ ↑ ↗
← S 82.733481°
E112.236328°		 ← 154.51 m → S 82.733481°
E112.247314°		 →
↑
154.50 m
↓
↑
154.50 m
↓
S 82.734871°
E112.236328°		 ← 154.48 m →
23 869 m²		 S 82.734871°
E112.247314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811782836914062 y=0.938766479492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811782836914062 × 215)
    floor (0.811782836914062 × 32768)
    floor (26600.5)     		tx = 26600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938766479492188 × 215)
    floor (0.938766479492188 × 32768)
    floor (30761.5)     		ty = 30761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26600 / 30761 ti = "15/26600/30761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26600/30761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26600 ÷ 215
    26600 ÷ 32768     		x = 0.811767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30761 ÷ 215
    30761 ÷ 32768     		y = 0.938751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811767578125 × 2 - 1) × π
    0.62353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95889347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.87750244140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.75675522335019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95889347} λ = 1.95889347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75675522335019))-π/2
    2×atan(0.0634974695584844)-π/2
    2×0.0634123363257502-π/2
    0.1268246726515-1.57079632675     		φ = -1.44397165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95889347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.236328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44397165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.733481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26600 KachelY 30761 1.95889347 -1.44397165 112.236328 -82.733481
    Oben rechts KachelX + 1 26601 KachelY 30761 1.95908521 -1.44397165 112.247314 -82.733481
    Unten links KachelX 26600 KachelY + 1 30762 1.95889347 -1.44399590 112.236328 -82.734871
    Unten rechts KachelX + 1 26601 KachelY + 1 30762 1.95908521 -1.44399590 112.247314 -82.734871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44397165--1.44399590) × R
    2.42500000000589e-05 × 6371000     		dl = 154.496750000376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44397165--1.44399590) × R
    2.42500000000589e-05 × 6371000     		dr = 154.496750000376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95889347-1.95908521) × cos(-1.44397165) × R
    0.000191739999999996 × 0.126484964891143 × 6371000     		do = 154.510939288776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95889347-1.95908521) × cos(-1.44399590) × R
    0.000191739999999996 × 0.126460909617235 × 6371000     		du = 154.481553954562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44397165)-sin(-1.44399590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126484964891143-0.126460909617235)×R²
    abs(1.95908521-1.95889347)×2.4055273908058e-05×R²
    0.000191739999999996×2.4055273908058e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.4055273908058e-05×40589641000000     		ar = 23869.1679920735m²