Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26598 / 30814
↖ ↑ ↗
← S 82.806761°
E112.214355°		 ← 152.97 m → S 82.806761°
E112.225342°		 →
↑
152.90 m
↓
↑
152.90 m
↓
S 82.808136°
E112.214355°		 ← 152.94 m →
23 387 m²		 S 82.808136°
E112.225342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811721801757812 y=0.940383911132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811721801757812 × 215)
    floor (0.811721801757812 × 32768)
    floor (26598.5)     		tx = 26598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940383911132812 × 215)
    floor (0.940383911132812 × 32768)
    floor (30814.5)     		ty = 30814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26598 / 30814 ti = "15/26598/30814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26598/30814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26598 ÷ 215
    26598 ÷ 32768     		x = 0.81170654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30814 ÷ 215
    30814 ÷ 32768     		y = 0.94036865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81170654296875 × 2 - 1) × π
    0.6234130859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95850997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.8807373046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.76691784606964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95850997} λ = 1.95850997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76691784606964))-π/2
    2×atan(0.0628554366266466)-π/2
    2×0.0627728557514685-π/2
    0.125545711502937-1.57079632675     		φ = -1.44525062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95850997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.214355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44525062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.806761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26598 KachelY 30814 1.95850997 -1.44525062 112.214355 -82.806761
    Oben rechts KachelX + 1 26599 KachelY 30814 1.95870172 -1.44525062 112.225342 -82.806761
    Unten links KachelX 26598 KachelY + 1 30815 1.95850997 -1.44527462 112.214355 -82.808136
    Unten rechts KachelX + 1 26599 KachelY + 1 30815 1.95870172 -1.44527462 112.225342 -82.808136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44525062--1.44527462) × R
    2.4000000000024e-05 × 6371000     		dl = 152.904000000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44525062--1.44527462) × R
    2.4000000000024e-05 × 6371000     		dr = 152.904000000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95850997-1.95870172) × cos(-1.44525062) × R
    0.000191750000000157 × 0.12521616380343 × 6371000     		do = 152.968980436824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95850997-1.95870172) × cos(-1.44527462) × R
    0.000191750000000157 × 0.125192352659762 × 6371000     		du = 152.939891809133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44525062)-sin(-1.44527462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12521616380343-0.125192352659762)×R²
    abs(1.95870172-1.95850997)×2.38111436675348e-05×R²
    0.000191750000000157×2.38111436675348e-05×6371000²
    0.000191750000000157×2.38111436675348e-05×40589641000000     		ar = 23387.345102316m²