Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26595 / 30819
↖ ↑ ↗
← S 82.813636°
E112.181397°		 ← 152.82 m → S 82.813636°
E112.192383°		 →
↑
152.78 m
↓
↑
152.78 m
↓
S 82.815010°
E112.181397°		 ← 152.79 m →
23 346 m²		 S 82.815010°
E112.192383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811630249023438 y=0.940536499023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811630249023438 × 215)
    floor (0.811630249023438 × 32768)
    floor (26595.5)     		tx = 26595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940536499023438 × 215)
    floor (0.940536499023438 × 32768)
    floor (30819.5)     		ty = 30819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26595 / 30819 ti = "15/26595/30819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26595/30819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26595 ÷ 215
    26595 ÷ 32768     		x = 0.811614990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30819 ÷ 215
    30819 ÷ 32768     		y = 0.940521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811614990234375 × 2 - 1) × π
    0.62322998046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95793473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.940521240234375 × 2 - 1) × π
    -0.88104248046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.76787658406204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95793473} λ = 1.95793473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76787658406204))-π/2
    2×atan(0.0627952036099782)-π/2
    2×0.062712859541111-π/2
    0.125425719082222-1.57079632675     		φ = -1.44537061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95793473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.181397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44537061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.813636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26595 KachelY 30819 1.95793473 -1.44537061 112.181397 -82.813636
    Oben rechts KachelX + 1 26596 KachelY 30819 1.95812648 -1.44537061 112.192383 -82.813636
    Unten links KachelX 26595 KachelY + 1 30820 1.95793473 -1.44539459 112.181397 -82.815010
    Unten rechts KachelX + 1 26596 KachelY + 1 30820 1.95812648 -1.44539459 112.192383 -82.815010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44537061--1.44539459) × R
    2.39800000001456e-05 × 6371000     		dl = 152.776580000927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44537061--1.44539459) × R
    2.39800000001456e-05 × 6371000     		dr = 152.776580000927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95793473-1.95812648) × cos(-1.44537061) × R
    0.000191749999999935 × 0.125097117285566 × 6371000     		do = 152.82354853785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95793473-1.95812648) × cos(-1.44539459) × R
    0.000191749999999935 × 0.125073325624462 × 6371000     		du = 152.794483710822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44537061)-sin(-1.44539459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125097117285566-0.125073325624462)×R²
    abs(1.95812648-1.95793473)×2.37916611044164e-05×R²
    0.000191749999999935×2.37916611044164e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.37916611044164e-05×40589641000000     		ar = 23345.6388775224m²