Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26594 / 30818
↖ ↑ ↗
← S 82.812261°
E112.170410°		 ← 152.85 m → S 82.812261°
E112.181397°		 →
↑
152.84 m
↓
↑
152.84 m
↓
S 82.813636°
E112.170410°		 ← 152.82 m →
23 360 m²		 S 82.813636°
E112.181397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811599731445312 y=0.940505981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811599731445312 × 215)
    floor (0.811599731445312 × 32768)
    floor (26594.5)     		tx = 26594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940505981445312 × 215)
    floor (0.940505981445312 × 32768)
    floor (30818.5)     		ty = 30818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26594 / 30818 ti = "15/26594/30818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26594/30818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26594 ÷ 215
    26594 ÷ 32768     		x = 0.81158447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30818 ÷ 215
    30818 ÷ 32768     		y = 0.94049072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81158447265625 × 2 - 1) × π
    0.6231689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95774298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.8809814453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.76768483646356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95774298} λ = 1.95774298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76768483646356))-π/2
    2×atan(0.0628072455939403)-π/2
    2×0.062724854218141-π/2
    0.125449708436282-1.57079632675     		φ = -1.44534662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95774298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.170410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44534662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.812261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26594 KachelY 30818 1.95774298 -1.44534662 112.170410 -82.812261
    Oben rechts KachelX + 1 26595 KachelY 30818 1.95793473 -1.44534662 112.181397 -82.812261
    Unten links KachelX 26594 KachelY + 1 30819 1.95774298 -1.44537061 112.170410 -82.813636
    Unten rechts KachelX + 1 26595 KachelY + 1 30819 1.95793473 -1.44537061 112.181397 -82.813636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44534662--1.44537061) × R
    2.39899999998627e-05 × 6371000     		dl = 152.840289999125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44534662--1.44537061) × R
    2.39899999998627e-05 × 6371000     		dr = 152.840289999125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95774298-1.95793473) × cos(-1.44534662) × R
    0.000191750000000157 × 0.12512091879615 × 6371000     		do = 152.852625397564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95774298-1.95793473) × cos(-1.44537061) × R
    0.000191750000000157 × 0.125097117285566 × 6371000     		du = 152.823548538027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44534662)-sin(-1.44537061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12512091879615-0.125097117285566)×R²
    abs(1.95793473-1.95774298)×2.38015105832323e-05×R²
    0.000191750000000157×2.38015105832323e-05×6371000²
    0.000191750000000157×2.38015105832323e-05×40589641000000     		ar = 23359.817536175m²