Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26592 / 30817
↖ ↑ ↗
← S 82.810886°
E112.148438°		 ← 152.87 m → S 82.810886°
E112.159424°		 →
↑
152.90 m
↓
↑
152.90 m
↓
S 82.812261°
E112.148438°		 ← 152.84 m →
23 373 m²		 S 82.812261°
E112.159424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811538696289062 y=0.940475463867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811538696289062 × 215)
    floor (0.811538696289062 × 32768)
    floor (26592.5)     		tx = 26592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940475463867188 × 215)
    floor (0.940475463867188 × 32768)
    floor (30817.5)     		ty = 30817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26592 / 30817 ti = "15/26592/30817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26592/30817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26592 ÷ 215
    26592 ÷ 32768     		x = 0.8115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30817 ÷ 215
    30817 ÷ 32768     		y = 0.940460205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8115234375 × 2 - 1) × π
    0.623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95735949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.940460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.88092041015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.76749308886508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95735949} λ = 1.95735949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76749308886508))-π/2
    2×atan(0.0628192898871453)-π/2
    2×0.0627368511772645-π/2
    0.125473702354529-1.57079632675     		φ = -1.44532262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95735949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44532262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.810886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26592 KachelY 30817 1.95735949 -1.44532262 112.148438 -82.810886
    Oben rechts KachelX + 1 26593 KachelY 30817 1.95755123 -1.44532262 112.159424 -82.810886
    Unten links KachelX 26592 KachelY + 1 30818 1.95735949 -1.44534662 112.148438 -82.812261
    Unten rechts KachelX + 1 26593 KachelY + 1 30818 1.95755123 -1.44534662 112.159424 -82.812261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44532262--1.44534662) × R
    2.4000000000024e-05 × 6371000     		dl = 152.904000000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44532262--1.44534662) × R
    2.4000000000024e-05 × 6371000     		dr = 152.904000000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95735949-1.95755123) × cos(-1.44532262) × R
    0.000191739999999996 × 0.125144730156108 × 6371000     		do = 152.873741318599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95735949-1.95755123) × cos(-1.44534662) × R
    0.000191739999999996 × 0.12512091879615 × 6371000     		du = 152.844653943699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44532262)-sin(-1.44534662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125144730156108-0.12512091879615)×R²
    abs(1.95755123-1.95735949)×2.38113599587697e-05×R²
    0.000191739999999996×2.38113599587697e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.38113599587697e-05×40589641000000     		ar = 23372.7827556641m²