Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26591 / 30750
↖ ↑ ↗
← S 82.718180°
E112.137451°		 ← 154.84 m → S 82.718180°
E112.148438°		 →
↑
154.82 m
↓
↑
154.82 m
↓
S 82.719572°
E112.137451°		 ← 154.81 m →
23 970 m²		 S 82.719572°
E112.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811508178710938 y=0.938430786132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811508178710938 × 215)
    floor (0.811508178710938 × 32768)
    floor (26591.5)     		tx = 26591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938430786132812 × 215)
    floor (0.938430786132812 × 32768)
    floor (30750.5)     		ty = 30750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26591 / 30750 ti = "15/26591/30750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26591/30750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26591 ÷ 215
    26591 ÷ 32768     		x = 0.811492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30750 ÷ 215
    30750 ÷ 32768     		y = 0.93841552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811492919921875 × 2 - 1) × π
    0.62298583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95716774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93841552734375 × 2 - 1) × π
    -0.8768310546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.75464599976691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95716774} λ = 1.95716774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75464599976691))-π/2
    2×atan(0.0636315412626509)-π/2
    2×0.0635458685001336-π/2
    0.127091737000267-1.57079632675     		φ = -1.44370459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95716774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.137451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44370459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.718180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26591 KachelY 30750 1.95716774 -1.44370459 112.137451 -82.718180
    Oben rechts KachelX + 1 26592 KachelY 30750 1.95735949 -1.44370459 112.148438 -82.718180
    Unten links KachelX 26591 KachelY + 1 30751 1.95716774 -1.44372889 112.137451 -82.719572
    Unten rechts KachelX + 1 26592 KachelY + 1 30751 1.95735949 -1.44372889 112.148438 -82.719572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44370459--1.44372889) × R
    2.42999999999771e-05 × 6371000     		dl = 154.815299999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44370459--1.44372889) × R
    2.42999999999771e-05 × 6371000     		dr = 154.815299999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95716774-1.95735949) × cos(-1.44370459) × R
    0.000191749999999935 × 0.126749875491635 × 6371000     		do = 154.842622833142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95716774-1.95735949) × cos(-1.44372889) × R
    0.000191749999999935 × 0.12672577144076 × 6371000     		du = 154.813176378509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44370459)-sin(-1.44372889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126749875491635-0.12672577144076)×R²
    abs(1.95735949-1.95716774)×2.41040508748291e-05×R²
    0.000191749999999935×2.41040508748291e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.41040508748291e-05×40589641000000     		ar = 23969.7277263165m²