Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26588 / 30764
↖ ↑ ↗
← S 82.737649°
E112.104492°		 ← 154.43 m → S 82.737649°
E112.115478°		 →
↑
154.43 m
↓
↑
154.43 m
↓
S 82.739038°
E112.104492°		 ← 154.40 m →
23 847 m²		 S 82.739038°
E112.115478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811416625976562 y=0.938858032226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811416625976562 × 215)
    floor (0.811416625976562 × 32768)
    floor (26588.5)     		tx = 26588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938858032226562 × 215)
    floor (0.938858032226562 × 32768)
    floor (30764.5)     		ty = 30764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26588 / 30764 ti = "15/26588/30764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26588/30764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26588 ÷ 215
    26588 ÷ 32768     		x = 0.8114013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30764 ÷ 215
    30764 ÷ 32768     		y = 0.9388427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8114013671875 × 2 - 1) × π
    0.622802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95659249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.877685546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.75733046614563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95659249} λ = 1.95659249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75733046614563))-π/2
    2×atan(0.06346095360037)-π/2
    2×0.0633759669221632-π/2
    0.126751933844326-1.57079632675     		φ = -1.44404439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95659249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.104492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44404439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.737649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26588 KachelY 30764 1.95659249 -1.44404439 112.104492 -82.737649
    Oben rechts KachelX + 1 26589 KachelY 30764 1.95678424 -1.44404439 112.115478 -82.737649
    Unten links KachelX 26588 KachelY + 1 30765 1.95659249 -1.44406863 112.104492 -82.739038
    Unten rechts KachelX + 1 26589 KachelY + 1 30765 1.95678424 -1.44406863 112.115478 -82.739038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44404439--1.44406863) × R
    2.42400000001197e-05 × 6371000     		dl = 154.433040000763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44404439--1.44406863) × R
    2.42400000001197e-05 × 6371000     		dr = 154.433040000763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95659249-1.95678424) × cos(-1.44404439) × R
    0.000191749999999935 × 0.12641280876611 × 6371000     		do = 154.430848891372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95659249-1.95678424) × cos(-1.44406863) × R
    0.000191749999999935 × 0.126388763188982 × 6371000     		du = 154.401473870563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44404439)-sin(-1.44406863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12641280876611-0.126388763188982)×R²
    abs(1.95678424-1.95659249)×2.40455771279291e-05×R²
    0.000191749999999935×2.40455771279291e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.40455771279291e-05×40589641000000     		ar = 23846.9572282334m²