Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26587 / 30755
↖ ↑ ↗
← S 82.725139°
E112.093506°		 ← 154.69 m → S 82.725139°
E112.104492°		 →
↑
154.69 m
↓
↑
154.69 m
↓
S 82.726530°
E112.093506°		 ← 154.66 m →
23 926 m²		 S 82.726530°
E112.104492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811386108398438 y=0.938583374023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811386108398438 × 215)
    floor (0.811386108398438 × 32768)
    floor (26587.5)     		tx = 26587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938583374023438 × 215)
    floor (0.938583374023438 × 32768)
    floor (30755.5)     		ty = 30755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26587 / 30755 ti = "15/26587/30755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26587/30755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26587 ÷ 215
    26587 ÷ 32768     		x = 0.811370849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30755 ÷ 215
    30755 ÷ 32768     		y = 0.938568115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811370849609375 × 2 - 1) × π
    0.62274169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95640075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938568115234375 × 2 - 1) × π
    -0.87713623046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.75560473775931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95640075} λ = 1.95640075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75560473775931))-π/2
    2×atan(0.0635705645215573)-π/2
    2×0.063485137421974-π/2
    0.126970274843948-1.57079632675     		φ = -1.44382605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95640075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.093506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44382605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.725139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26587 KachelY 30755 1.95640075 -1.44382605 112.093506 -82.725139
    Oben rechts KachelX + 1 26588 KachelY 30755 1.95659249 -1.44382605 112.104492 -82.725139
    Unten links KachelX 26587 KachelY + 1 30756 1.95640075 -1.44385033 112.093506 -82.726530
    Unten rechts KachelX + 1 26588 KachelY + 1 30756 1.95659249 -1.44385033 112.104492 -82.726530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44382605--1.44385033) × R
    2.42800000000987e-05 × 6371000     		dl = 154.687880000629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44382605--1.44385033) × R
    2.42800000000987e-05 × 6371000     		dr = 154.687880000629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95640075-1.95659249) × cos(-1.44382605) × R
    0.000191739999999996 × 0.126629394167104 × 6371000     		do = 154.68737055955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95640075-1.95659249) × cos(-1.44385033) × R
    0.000191739999999996 × 0.126605309581407 × 6371000     		du = 154.657949418771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44382605)-sin(-1.44385033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126629394167104-0.126605309581407)×R²
    abs(1.95659249-1.95640075)×2.40845856975813e-05×R²
    0.000191739999999996×2.40845856975813e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.40845856975813e-05×40589641000000     		ar = 23925.9858690486m²