Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26464 / 30624
↖ ↑ ↗
← S 82.540604°
E110.742187°		 ← 158.60 m → S 82.540604°
E110.753174°		 →
↑
158.57 m
↓
↑
158.57 m
↓
S 82.542030°
E110.742187°		 ← 158.57 m →
25 147 m²		 S 82.542030°
E110.753174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807632446289062 y=0.934585571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807632446289062 × 215)
    floor (0.807632446289062 × 32768)
    floor (26464.5)     		tx = 26464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.934585571289062 × 215)
    floor (0.934585571289062 × 32768)
    floor (30624.5)     		ty = 30624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26464 / 30624 ti = "15/26464/30624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26464/30624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26464 ÷ 215
    26464 ÷ 32768     		x = 0.8076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30624 ÷ 215
    30624 ÷ 32768     		y = 0.9345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8076171875 × 2 - 1) × π
    0.615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93281579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9345703125 × 2 - 1) × π
    -0.869140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.7304858023584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93281579} λ = 1.93281579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7304858023584))-π/2
    2×atan(0.065187613678152)-π/2
    2×0.0650955117678637-π/2
    0.130191023535727-1.57079632675     		φ = -1.44060530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93281579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.742187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44060530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.540604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26464 KachelY 30624 1.93281579 -1.44060530 110.742187 -82.540604
    Oben rechts KachelX + 1 26465 KachelY 30624 1.93300754 -1.44060530 110.753174 -82.540604
    Unten links KachelX 26464 KachelY + 1 30625 1.93281579 -1.44063019 110.742187 -82.542030
    Unten rechts KachelX + 1 26465 KachelY + 1 30625 1.93300754 -1.44063019 110.753174 -82.542030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44060530--1.44063019) × R
    2.48899999999441e-05 × 6371000     		dl = 158.574189999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44060530--1.44063019) × R
    2.48899999999441e-05 × 6371000     		dr = 158.574189999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93281579-1.93300754) × cos(-1.44060530) × R
    0.000191749999999935 × 0.129823555143786 × 6371000     		do = 158.597550538134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93281579-1.93300754) × cos(-1.44063019) × R
    0.000191749999999935 × 0.129798875744856 × 6371000     		du = 158.567401215736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44060530)-sin(-1.44063019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.129823555143786-0.129798875744856)×R²
    abs(1.93300754-1.93281579)×2.4679398929417e-05×R²
    0.000191749999999935×2.4679398929417e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.4679398929417e-05×40589641000000     		ar = 25147.0876620671m²