Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26432 / 30528
↖ ↑ ↗
← S 82.402423°
E110.390625°		 ← 161.52 m → S 82.402423°
E110.401611°		 →
↑
161.50 m
↓
↑
161.50 m
↓
S 82.403876°
E110.390625°		 ← 161.49 m →
26 084 m²		 S 82.403876°
E110.401611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806655883789062 y=0.931655883789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806655883789062 × 215)
    floor (0.806655883789062 × 32768)
    floor (26432.5)     		tx = 26432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.931655883789062 × 215)
    floor (0.931655883789062 × 32768)
    floor (30528.5)     		ty = 30528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26432 / 30528 ti = "15/26432/30528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26432/30528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26432 ÷ 215
    26432 ÷ 32768     		x = 0.806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30528 ÷ 215
    30528 ÷ 32768     		y = 0.931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806640625 × 2 - 1) × π
    0.61328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92667987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.931640625 × 2 - 1) × π
    -0.86328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.7120780329043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92667987} λ = 1.92667987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7120780329043))-π/2
    2×atan(0.0663986846021673)-π/2
    2×0.0663013627335668-π/2
    0.132602725467134-1.57079632675     		φ = -1.43819360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92667987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43819360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.402423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26432 KachelY 30528 1.92667987 -1.43819360 110.390625 -82.402423
    Oben rechts KachelX + 1 26433 KachelY 30528 1.92687162 -1.43819360 110.401611 -82.402423
    Unten links KachelX 26432 KachelY + 1 30529 1.92667987 -1.43821895 110.390625 -82.403876
    Unten rechts KachelX + 1 26433 KachelY + 1 30529 1.92687162 -1.43821895 110.401611 -82.403876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43819360--1.43821895) × R
    2.53500000000351e-05 × 6371000     		dl = 161.504850000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43819360--1.43821895) × R
    2.53500000000351e-05 × 6371000     		dr = 161.504850000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92667987-1.92687162) × cos(-1.43819360) × R
    0.000191749999999935 × 0.132214465332803 × 6371000     		do = 161.518380268262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92667987-1.92687162) × cos(-1.43821895) × R
    0.000191749999999935 × 0.132189337834594 × 6371000     		du = 161.487683530195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43819360)-sin(-1.43821895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132214465332803-0.132189337834594)×R²
    abs(1.92687162-1.92667987)×2.51274982092098e-05×R²
    0.000191749999999935×2.51274982092098e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.51274982092098e-05×40589641000000     		ar = 26083.522943333m²