Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26400 / 29984
↖ ↑ ↗
← S 81.569968°
E110.039063°		 ← 179.08 m → S 81.569968°
E110.050049°		 →
↑
179.03 m
↓
↑
179.03 m
↓
S 81.571578°
E110.039063°		 ← 179.05 m →
32 058 m²		 S 81.571578°
E110.050049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805679321289062 y=0.915054321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805679321289062 × 215)
    floor (0.805679321289062 × 32768)
    floor (26400.5)     		tx = 26400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915054321289062 × 215)
    floor (0.915054321289062 × 32768)
    floor (29984.5)     		ty = 29984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26400 / 29984 ti = "15/26400/29984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26400/29984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26400 ÷ 215
    26400 ÷ 32768     		x = 0.8056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29984 ÷ 215
    29984 ÷ 32768     		y = 0.9150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8056640625 × 2 - 1) × π
    0.611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92054395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9150390625 × 2 - 1) × π
    -0.830078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60776733933105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92054395} λ = 1.92054395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60776733933105))-π/2
    2×atan(0.0736989048597285)-π/2
    2×0.0735659054561645-π/2
    0.147131810912329-1.57079632675     		φ = -1.42366452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92054395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42366452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.569968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26400 KachelY 29984 1.92054395 -1.42366452 110.039063 -81.569968
    Oben rechts KachelX + 1 26401 KachelY 29984 1.92073569 -1.42366452 110.050049 -81.569968
    Unten links KachelX 26400 KachelY + 1 29985 1.92054395 -1.42369262 110.039063 -81.571578
    Unten rechts KachelX + 1 26401 KachelY + 1 29985 1.92073569 -1.42369262 110.050049 -81.571578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42366452--1.42369262) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dl = 179.025099999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42366452--1.42369262) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dr = 179.025099999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92054395-1.92073569) × cos(-1.42366452) × R
    0.000191739999999996 × 0.14660153519646 × 6371000     		do = 179.084849522441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92054395-1.92073569) × cos(-1.42369262) × R
    0.000191739999999996 × 0.146573738741446 × 6371000     		du = 179.050894052897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42366452)-sin(-1.42369262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14660153519646-0.146573738741446)×R²
    abs(1.92073569-1.92054395)×2.77964550139675e-05×R²
    0.000191739999999996×2.77964550139675e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.77964550139675e-05×40589641000000     		ar = 32057.6436558609m²