Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26376 / 29960
↖ ↑ ↗
← S 81.531226°
E109.775390°		 ← 179.91 m → S 81.531226°
E109.786377°		 →
↑
179.85 m
↓
↑
179.85 m
↓
S 81.532843°
E109.775390°		 ← 179.88 m →
32 355 m²		 S 81.532843°
E109.786377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804946899414062 y=0.914321899414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804946899414062 × 215)
    floor (0.804946899414062 × 32768)
    floor (26376.5)     		tx = 26376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914321899414062 × 215)
    floor (0.914321899414062 × 32768)
    floor (29960.5)     		ty = 29960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26376 / 29960 ti = "15/26376/29960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26376/29960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26376 ÷ 215
    26376 ÷ 32768     		x = 0.804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29960 ÷ 215
    29960 ÷ 32768     		y = 0.914306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804931640625 × 2 - 1) × π
    0.60986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91594200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914306640625 × 2 - 1) × π
    -0.82861328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60316539696753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91594200} λ = 1.91594200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60316539696753))-π/2
    2×atan(0.0740388445636771)-π/2
    2×0.0739040003049748-π/2
    0.14780800060995-1.57079632675     		φ = -1.42298833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91594200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.775390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42298833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.531226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26376 KachelY 29960 1.91594200 -1.42298833 109.775390 -81.531226
    Oben rechts KachelX + 1 26377 KachelY 29960 1.91613375 -1.42298833 109.786377 -81.531226
    Unten links KachelX 26376 KachelY + 1 29961 1.91594200 -1.42301656 109.775390 -81.532843
    Unten rechts KachelX + 1 26377 KachelY + 1 29961 1.91613375 -1.42301656 109.786377 -81.532843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42298833--1.42301656) × R
    2.82300000000735e-05 × 6371000     		dl = 179.853330000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42298833--1.42301656) × R
    2.82300000000735e-05 × 6371000     		dr = 179.853330000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91594200-1.91613375) × cos(-1.42298833) × R
    0.000191749999999935 × 0.147270385821466 × 6371000     		do = 179.911283682085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91594200-1.91613375) × cos(-1.42301656) × R
    0.000191749999999935 × 0.147242463575054 × 6371000     		du = 179.877172769921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42298833)-sin(-1.42301656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147270385821466-0.147242463575054)×R²
    abs(1.91613375-1.91594200)×2.79222464111828e-05×R²
    0.000191749999999935×2.79222464111828e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.79222464111828e-05×40589641000000     		ar = 32354.5759969336m²