Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26375 / 30472
↖ ↑ ↗
← S 82.320646°
E109.764405°		 ← 163.24 m → S 82.320646°
E109.775390°		 →
↑
163.23 m
↓
↑
163.23 m
↓
S 82.322114°
E109.764405°		 ← 163.21 m →
26 642 m²		 S 82.322114°
E109.775390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804916381835938 y=0.929946899414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804916381835938 × 215)
    floor (0.804916381835938 × 32768)
    floor (26375.5)     		tx = 26375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929946899414062 × 215)
    floor (0.929946899414062 × 32768)
    floor (30472.5)     		ty = 30472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26375 / 30472 ti = "15/26375/30472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26375/30472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26375 ÷ 215
    26375 ÷ 32768     		x = 0.804901123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30472 ÷ 215
    30472 ÷ 32768     		y = 0.929931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804901123046875 × 2 - 1) × π
    0.60980224609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91575026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929931640625 × 2 - 1) × π
    -0.85986328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.7013401673894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91575026} λ = 1.91575026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7013401673894))-π/2
    2×atan(0.0671155064284207)-π/2
    2×0.0670150041797052-π/2
    0.13403000835941-1.57079632675     		φ = -1.43676632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91575026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.764405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43676632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.320646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26375 KachelY 30472 1.91575026 -1.43676632 109.764405 -82.320646
    Oben rechts KachelX + 1 26376 KachelY 30472 1.91594200 -1.43676632 109.775390 -82.320646
    Unten links KachelX 26375 KachelY + 1 30473 1.91575026 -1.43679194 109.764405 -82.322114
    Unten rechts KachelX + 1 26376 KachelY + 1 30473 1.91594200 -1.43679194 109.775390 -82.322114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43676632--1.43679194) × R
    2.56199999999485e-05 × 6371000     		dl = 163.225019999672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43676632--1.43679194) × R
    2.56199999999485e-05 × 6371000     		dr = 163.225019999672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91575026-1.91594200) × cos(-1.43676632) × R
    0.000191739999999996 × 0.133629080282757 × 6371000     		do = 163.238015906109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91575026-1.91594200) × cos(-1.43679194) × R
    0.000191739999999996 × 0.133603690014008 × 6371000     		du = 163.206999774851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43676632)-sin(-1.43679194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133629080282757-0.133603690014008)×R²
    abs(1.91594200-1.91575026)×2.53902687492591e-05×R²
    0.000191739999999996×2.53902687492591e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.53902687492591e-05×40589641000000     		ar = 26641.9971082895m²