Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26372 / 30468
↖ ↑ ↗
← S 82.314772°
E109.731445°		 ← 163.37 m → S 82.314772°
E109.742432°		 →
↑
163.35 m
↓
↑
163.35 m
↓
S 82.316241°
E109.731445°		 ← 163.34 m →
26 684 m²		 S 82.316241°
E109.742432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804824829101562 y=0.929824829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804824829101562 × 215)
    floor (0.804824829101562 × 32768)
    floor (26372.5)     		tx = 26372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929824829101562 × 215)
    floor (0.929824829101562 × 32768)
    floor (30468.5)     		ty = 30468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26372 / 30468 ti = "15/26372/30468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26372/30468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26372 ÷ 215
    26372 ÷ 32768     		x = 0.8048095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30468 ÷ 215
    30468 ÷ 32768     		y = 0.9298095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8048095703125 × 2 - 1) × π
    0.609619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91517501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.859619140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.70057317699548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91517501} λ = 1.91517501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70057317699548))-π/2
    2×atan(0.0671670031233451)-π/2
    2×0.0670662697719895-π/2
    0.134132539543979-1.57079632675     		φ = -1.43666379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91517501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.731445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43666379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.314772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26372 KachelY 30468 1.91517501 -1.43666379 109.731445 -82.314772
    Oben rechts KachelX + 1 26373 KachelY 30468 1.91536676 -1.43666379 109.742432 -82.314772
    Unten links KachelX 26372 KachelY + 1 30469 1.91517501 -1.43668943 109.731445 -82.316241
    Unten rechts KachelX + 1 26373 KachelY + 1 30469 1.91536676 -1.43668943 109.742432 -82.316241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43666379--1.43668943) × R
    2.56399999998269e-05 × 6371000     		dl = 163.352439998897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43666379--1.43668943) × R
    2.56399999998269e-05 × 6371000     		dr = 163.352439998897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91517501-1.91536676) × cos(-1.43666379) × R
    0.000191749999999935 × 0.133730690031353 × 6371000     		do = 163.370659871829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91517501-1.91536676) × cos(-1.43668943) × R
    0.000191749999999935 × 0.133705280293301 × 6371000     		du = 163.339618338492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43666379)-sin(-1.43668943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133730690031353-0.133705280293301)×R²
    abs(1.91536676-1.91517501)×2.54097380524565e-05×R²
    0.000191749999999935×2.54097380524565e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.54097380524565e-05×40589641000000     		ar = 26684.4605604725m²