Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26370 / 29950
↖ ↑ ↗
← S 81.515030°
E109.709473°		 ← 180.25 m → S 81.515030°
E109.720459°		 →
↑
180.24 m
↓
↑
180.24 m
↓
S 81.516651°
E109.709473°		 ← 180.22 m →
32 485 m²		 S 81.516651°
E109.720459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804763793945312 y=0.914016723632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804763793945312 × 215)
    floor (0.804763793945312 × 32768)
    floor (26370.5)     		tx = 26370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914016723632812 × 215)
    floor (0.914016723632812 × 32768)
    floor (29950.5)     		ty = 29950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26370 / 29950 ti = "15/26370/29950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26370/29950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26370 ÷ 215
    26370 ÷ 32768     		x = 0.80474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29950 ÷ 215
    29950 ÷ 32768     		y = 0.91400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80474853515625 × 2 - 1) × π
    0.6094970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91479152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91400146484375 × 2 - 1) × π
    -0.8280029296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60124792098273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91479152} λ = 1.91479152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60124792098273))-π/2
    2×atan(0.0741809484669417)-π/2
    2×0.074045327997207-π/2
    0.148090655994414-1.57079632675     		φ = -1.42270567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91479152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.709473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42270567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.515030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26370 KachelY 29950 1.91479152 -1.42270567 109.709473 -81.515030
    Oben rechts KachelX + 1 26371 KachelY 29950 1.91498327 -1.42270567 109.720459 -81.515030
    Unten links KachelX 26370 KachelY + 1 29951 1.91479152 -1.42273396 109.709473 -81.516651
    Unten rechts KachelX + 1 26371 KachelY + 1 29951 1.91498327 -1.42273396 109.720459 -81.516651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42270567--1.42273396) × R
    2.82899999999309e-05 × 6371000     		dl = 180.23558999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42270567--1.42273396) × R
    2.82899999999309e-05 × 6371000     		dr = 180.23558999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91479152-1.91498327) × cos(-1.42270567) × R
    0.000191749999999935 × 0.147549957886518 × 6371000     		do = 180.252819889957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91479152-1.91498327) × cos(-1.42273396) × R
    0.000191749999999935 × 0.147521977472728 × 6371000     		du = 180.218637918239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42270567)-sin(-1.42273396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147549957886518-0.147521977472728)×R²
    abs(1.91498327-1.91479152)×2.79804137905959e-05×R²
    0.000191749999999935×2.79804137905959e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.79804137905959e-05×40589641000000     		ar = 32484.8929402383m²