Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26369 / 29951
↖ ↑ ↗
← S 81.516651°
E109.698486°		 ← 180.22 m → S 81.516651°
E109.709473°		 →
↑
180.17 m
↓
↑
180.17 m
↓
S 81.518272°
E109.698486°		 ← 180.18 m →
32 467 m²		 S 81.518272°
E109.709473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804733276367188 y=0.914047241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804733276367188 × 215)
    floor (0.804733276367188 × 32768)
    floor (26369.5)     		tx = 26369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914047241210938 × 215)
    floor (0.914047241210938 × 32768)
    floor (29951.5)     		ty = 29951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26369 / 29951 ti = "15/26369/29951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26369/29951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26369 ÷ 215
    26369 ÷ 32768     		x = 0.804718017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29951 ÷ 215
    29951 ÷ 32768     		y = 0.914031982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804718017578125 × 2 - 1) × π
    0.60943603515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91459977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914031982421875 × 2 - 1) × π
    -0.82806396484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60143966858121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91459977} λ = 1.91459977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60143966858121))-π/2
    2×atan(0.0741667258118438)-π/2
    2×0.0740311831635626-π/2
    0.148062366327125-1.57079632675     		φ = -1.42273396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91459977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.698486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42273396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.516651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26369 KachelY 29951 1.91459977 -1.42273396 109.698486 -81.516651
    Oben rechts KachelX + 1 26370 KachelY 29951 1.91479152 -1.42273396 109.709473 -81.516651
    Unten links KachelX 26369 KachelY + 1 29952 1.91459977 -1.42276224 109.698486 -81.518272
    Unten rechts KachelX + 1 26370 KachelY + 1 29952 1.91479152 -1.42276224 109.709473 -81.518272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42273396--1.42276224) × R
    2.82799999999916e-05 × 6371000     		dl = 180.171879999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42273396--1.42276224) × R
    2.82799999999916e-05 × 6371000     		dr = 180.171879999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91459977-1.91479152) × cos(-1.42273396) × R
    0.000191750000000157 × 0.147521977472728 × 6371000     		do = 180.218637918448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91459977-1.91479152) × cos(-1.42276224) × R
    0.000191750000000157 × 0.147494006831501 × 6371000     		du = 180.184467885278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42273396)-sin(-1.42276224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147521977472728-0.147494006831501)×R²
    abs(1.91479152-1.91459977)×2.79706412265601e-05×R²
    0.000191750000000157×2.79706412265601e-05×6371000²
    0.000191750000000157×2.79706412265601e-05×40589641000000     		ar = 32467.2525669599m²