Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26367 / 29953
↖ ↑ ↗
← S 81.519892°
E109.676514°		 ← 180.14 m → S 81.519892°
E109.687500°		 →
↑
180.17 m
↓
↑
180.17 m
↓
S 81.521512°
E109.676514°		 ← 180.11 m →
32 453 m²		 S 81.521512°
E109.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804672241210938 y=0.914108276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804672241210938 × 215)
    floor (0.804672241210938 × 32768)
    floor (26367.5)     		tx = 26367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914108276367188 × 215)
    floor (0.914108276367188 × 32768)
    floor (29953.5)     		ty = 29953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26367 / 29953 ti = "15/26367/29953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26367/29953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26367 ÷ 215
    26367 ÷ 32768     		x = 0.804656982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29953 ÷ 215
    29953 ÷ 32768     		y = 0.914093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804656982421875 × 2 - 1) × π
    0.60931396484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91421628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914093017578125 × 2 - 1) × π
    -0.82818603515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60182316377817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91421628} λ = 1.91421628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60182316377817))-π/2
    2×atan(0.0741382886818206)-π/2
    2×0.0740029015427014-π/2
    0.148005803085403-1.57079632675     		φ = -1.42279052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91421628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.676514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42279052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.519892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26367 KachelY 29953 1.91421628 -1.42279052 109.676514 -81.519892
    Oben rechts KachelX + 1 26368 KachelY 29953 1.91440802 -1.42279052 109.687500 -81.519892
    Unten links KachelX 26367 KachelY + 1 29954 1.91421628 -1.42281880 109.676514 -81.521512
    Unten rechts KachelX + 1 26368 KachelY + 1 29954 1.91440802 -1.42281880 109.687500 -81.521512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42279052--1.42281880) × R
    2.82799999999916e-05 × 6371000     		dl = 180.171879999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42279052--1.42281880) × R
    2.82799999999916e-05 × 6371000     		dr = 180.171879999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91421628-1.91440802) × cos(-1.42279052) × R
    0.000191739999999996 × 0.147466036072315 × 6371000     		do = 180.140902646694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91421628-1.91440802) × cos(-1.42281880) × R
    0.000191739999999996 × 0.147438065195192 × 6371000     		du = 180.106734107368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42279052)-sin(-1.42281880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147466036072315-0.147438065195192)×R²
    abs(1.91440802-1.91421628)×2.79708771233345e-05×R²
    0.000191739999999996×2.79708771233345e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.79708771233345e-05×40589641000000     		ar = 32453.2469920523m²