Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26352 / 30000
↖ ↑ ↗
← S 81.595699°
E109.511719°		 ← 178.55 m → S 81.595699°
E109.522705°		 →
↑
178.52 m
↓
↑
178.52 m
↓
S 81.597304°
E109.511719°		 ← 178.52 m →
31 871 m²		 S 81.597304°
E109.522705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804214477539062 y=0.915542602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804214477539062 × 215)
    floor (0.804214477539062 × 32768)
    floor (26352.5)     		tx = 26352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915542602539062 × 215)
    floor (0.915542602539062 × 32768)
    floor (30000.5)     		ty = 30000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26352 / 30000 ti = "15/26352/30000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26352/30000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26352 ÷ 215
    26352 ÷ 32768     		x = 0.80419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30000 ÷ 215
    30000 ÷ 32768     		y = 0.91552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80419921875 × 2 - 1) × π
    0.6083984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91134006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91552734375 × 2 - 1) × π
    -0.8310546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61083530090674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91134006} λ = 1.91134006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61083530090674))-π/2
    2×atan(0.0734731459383744)-π/2
    2×0.0733413624145633-π/2
    0.146682724829127-1.57079632675     		φ = -1.42411360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91134006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.511719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42411360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.595699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26352 KachelY 30000 1.91134006 -1.42411360 109.511719 -81.595699
    Oben rechts KachelX + 1 26353 KachelY 30000 1.91153181 -1.42411360 109.522705 -81.595699
    Unten links KachelX 26352 KachelY + 1 30001 1.91134006 -1.42414162 109.511719 -81.597304
    Unten rechts KachelX + 1 26353 KachelY + 1 30001 1.91153181 -1.42414162 109.522705 -81.597304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42411360--1.42414162) × R
    2.80200000000175e-05 × 6371000     		dl = 178.515420000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42411360--1.42414162) × R
    2.80200000000175e-05 × 6371000     		dr = 178.515420000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91134006-1.91153181) × cos(-1.42411360) × R
    0.000191750000000157 × 0.146157292456126 × 6371000     		do = 178.551485138279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91134006-1.91153181) × cos(-1.42414162) × R
    0.000191750000000157 × 0.146129573295341 × 6371000     		du = 178.517622323487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42411360)-sin(-1.42414162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146157292456126-0.146129573295341)×R²
    abs(1.91153181-1.91134006)×2.77191607849503e-05×R²
    0.000191750000000157×2.77191607849503e-05×6371000²
    0.000191750000000157×2.77191607849503e-05×40589641000000     		ar = 31871.1708459116m²