Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2602 / 2666
↖ ↑ ↗
← S 47.635784°
E 48.691406°		 ← 6 585.44 m → S 47.635784°
E 48.779297°		 →
↑
6 581.69 m
↓
↑
6 581.69 m
↓
S 47.694974°
E 48.691406°		 ← 6 577.98 m →
43 318 758 m²		 S 47.694974°
E 48.779297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6353759765625 y=0.6510009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6353759765625 × 212)
    floor (0.6353759765625 × 4096)
    floor (2602.5)     		tx = 2602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6510009765625 × 212)
    floor (0.6510009765625 × 4096)
    floor (2666.5)     		ty = 2666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2602 / 2666 ti = "12/2602/2666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2602/2666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2602 ÷ 212
    2602 ÷ 4096     		x = 0.63525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2666 ÷ 212
    2666 ÷ 4096     		y = 0.65087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63525390625 × 2 - 1) × π
    0.2705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84982536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65087890625 × 2 - 1) × π
    -0.3017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.94800012688623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84982536} λ = 0.84982536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94800012688623))-π/2
    2×atan(0.38751523032902)-π/2
    2×0.369697530692538-π/2
    0.739395061385076-1.57079632675     		φ = -0.83140127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84982536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.691406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83140127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.635784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2602 KachelY 2666 0.84982536 -0.83140127 48.691406 -47.635784
    Oben rechts KachelX + 1 2603 KachelY 2666 0.85135934 -0.83140127 48.779297 -47.635784
    Unten links KachelX 2602 KachelY + 1 2667 0.84982536 -0.83243434 48.691406 -47.694974
    Unten rechts KachelX + 1 2603 KachelY + 1 2667 0.85135934 -0.83243434 48.779297 -47.694974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83140127--0.83243434) × R
    0.00103307000000008 × 6371000     		dl = 6581.68897000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83140127--0.83243434) × R
    0.00103307000000008 × 6371000     		dr = 6581.68897000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84982536-0.85135934) × cos(-0.83140127) × R
    0.00153398000000005 × 0.673841056738662 × 6371000     		do = 6585.43960456016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84982536-0.85135934) × cos(-0.83243434) × R
    0.00153398000000005 × 0.673077386331862 × 6371000     		du = 6577.97626392296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83140127)-sin(-0.83243434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673841056738662-0.673077386331862)×R²
    abs(0.85135934-0.84982536)×0.000763670406800143×R²
    0.00153398000000005×0.000763670406800143×6371000²
    0.00153398000000005×0.000763670406800143×40589641000000     		ar = 43318758.3671638m²