Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2598 / 2665
↖ ↑ ↗
← S 47.576526°
E 48.339844°		 ← 6 592.90 m → S 47.576526°
E 48.427734°		 →
↑
6 589.21 m
↓
↑
6 589.21 m
↓
S 47.635784°
E 48.339844°		 ← 6 585.44 m →
43 417 421 m²		 S 47.635784°
E 48.427734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6343994140625 y=0.6507568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6343994140625 × 212)
    floor (0.6343994140625 × 4096)
    floor (2598.5)     		tx = 2598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6507568359375 × 212)
    floor (0.6507568359375 × 4096)
    floor (2665.5)     		ty = 2665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2598 / 2665 ti = "12/2598/2665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2598/2665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2598 ÷ 212
    2598 ÷ 4096     		x = 0.63427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2665 ÷ 212
    2665 ÷ 4096     		y = 0.650634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63427734375 × 2 - 1) × π
    0.2685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.84368943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650634765625 × 2 - 1) × π
    -0.30126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.946466146098389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84368943} λ = 0.84368943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946466146098389))-π/2
    2×atan(0.388110127411034)-π/2
    2×0.370214653224265-π/2
    0.740429306448529-1.57079632675     		φ = -0.83036702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84368943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.339844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83036702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.576526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2598 KachelY 2665 0.84368943 -0.83036702 48.339844 -47.576526
    Oben rechts KachelX + 1 2599 KachelY 2665 0.84522341 -0.83036702 48.427734 -47.576526
    Unten links KachelX 2598 KachelY + 1 2666 0.84368943 -0.83140127 48.339844 -47.635784
    Unten rechts KachelX + 1 2599 KachelY + 1 2666 0.84522341 -0.83140127 48.427734 -47.635784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83036702--0.83140127) × R
    0.00103425000000001 × 6371000     		dl = 6589.20675000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83036702--0.83140127) × R
    0.00103425000000001 × 6371000     		dr = 6589.20675000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84368943-0.84522341) × cos(-0.83036702) × R
    0.00153398000000005 × 0.674604879051399 × 6371000     		do = 6592.90442977204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84368943-0.84522341) × cos(-0.83140127) × R
    0.00153398000000005 × 0.673841056738662 × 6371000     		du = 6585.43960456016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83036702)-sin(-0.83140127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674604879051399-0.673841056738662)×R²
    abs(0.84522341-0.84368943)×0.000763822312737084×R²
    0.00153398000000005×0.000763822312737084×6371000²
    0.00153398000000005×0.000763822312737084×40589641000000     		ar = 43417420.6026312m²