Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 254 / 179
↖ ↑ ↗
← N 47.517200°
W  1.406250°		 ← 52.803 km → N 47.517200°
W  0.703125°		 →
↑
53.042 km
↓
↑
53.042 km
↓
N 47.040182°
W  1.406250°		 ← 53.281 km →
2 813.47 km²		 N 47.040182°
W  0.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4970703125 y=0.3505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4970703125 × 29)
    floor (0.4970703125 × 512)
    floor (254.5)     		tx = 254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3505859375 × 29)
    floor (0.3505859375 × 512)
    floor (179.5)     		ty = 179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 254 / 179 ti = "9/254/179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/254/179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 254 ÷ 29
    254 ÷ 512     		x = 0.49609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 179 ÷ 29
    179 ÷ 512     		y = 0.349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49609375 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349609375 × 2 - 1) × π
    0.30078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.944932165310547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02454369} λ = -0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944932165310547))-π/2
    2×atan(2.57263885851109)-π/2
    2×1.20006396514245-π/2
    2.4001279302849-1.57079632675     		φ = 0.82933160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82933160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.517200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 254 KachelY 179 -0.02454369 0.82933160 -1.406250 47.517200
    Oben rechts KachelX + 1 255 KachelY 179 -0.01227185 0.82933160 -0.703125 47.517200
    Unten links KachelX 254 KachelY + 1 180 -0.02454369 0.82100606 -1.406250 47.040182
    Unten rechts KachelX + 1 255 KachelY + 1 180 -0.01227185 0.82100606 -0.703125 47.040182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82933160-0.82100606) × R
    0.00832553999999996 × 6371000     		dl = 53042.0153399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82933160-0.82100606) × R
    0.00832553999999996 × 6371000     		dr = 53042.0153399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02454369--0.01227185) × cos(0.82933160) × R
    0.01227184 × 0.675368842609735 × 6371000     		do = 52802.9650830006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02454369--0.01227185) × cos(0.82100606) × R
    0.01227184 × 0.681485285580883 × 6371000     		du = 53281.1724035955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82933160)-sin(0.82100606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675368842609735-0.681485285580883)×R²
    abs(-0.01227185--0.02454369)×0.00611644297114788×R²
    0.01227184×0.00611644297114788×6371000²
    0.01227184×0.00611644297114788×40589641000000     		ar = 2813474475.20811m²