Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2488 / 1192
↖ ↑ ↗
← N 59.888937°
E 38.671875°		 ← 4 902.89 m → N 59.888937°
E 38.759766°		 →
↑
4 906.12 m
↓
↑
4 906.12 m
↓
N 59.844815°
E 38.671875°		 ← 4 909.40 m →
24 070 116 m²		 N 59.844815°
E 38.759766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6075439453125 y=0.2911376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6075439453125 × 212)
    floor (0.6075439453125 × 4096)
    floor (2488.5)     		tx = 2488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2911376953125 × 212)
    floor (0.2911376953125 × 4096)
    floor (1192.5)     		ty = 1192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2488 / 1192 ti = "12/2488/1192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2488/1192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2488 ÷ 212
    2488 ÷ 4096     		x = 0.607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1192 ÷ 212
    1192 ÷ 4096     		y = 0.291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607421875 × 2 - 1) × π
    0.21484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67495155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291015625 × 2 - 1) × π
    0.41796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31308755439258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67495155} λ = 0.67495155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31308755439258))-π/2
    2×atan(3.71763440879247)-π/2
    2×1.30802773057187-π/2
    2.61605546114375-1.57079632675     		φ = 1.04525913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67495155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04525913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.888937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2488 KachelY 1192 0.67495155 1.04525913 38.671875 59.888937
    Oben rechts KachelX + 1 2489 KachelY 1192 0.67648553 1.04525913 38.759766 59.888937
    Unten links KachelX 2488 KachelY + 1 1193 0.67495155 1.04448906 38.671875 59.844815
    Unten rechts KachelX + 1 2489 KachelY + 1 1193 0.67648553 1.04448906 38.759766 59.844815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04525913-1.04448906) × R
    0.000770069999999956 × 6371000     		dl = 4906.11596999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04525913-1.04448906) × R
    0.000770069999999956 × 6371000     		dr = 4906.11596999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67495155-0.67648553) × cos(1.04525913) × R
    0.00153398000000005 × 0.501677781579305 × 6371000     		do = 4902.89022685887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67495155-0.67648553) × cos(1.04448906) × R
    0.00153398000000005 × 0.502343785334277 × 6371000     		du = 4909.39907261844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04525913)-sin(1.04448906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501677781579305-0.502343785334277)×R²
    abs(0.67648553-0.67495155)×0.000666003754972055×R²
    0.00153398000000005×0.000666003754972055×6371000²
    0.00153398000000005×0.000666003754972055×40589641000000     		ar = 24070115.806693m²