Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2487 / 1207
↖ ↑ ↗
← N 59.220934°
E 38.583985°		 ← 5 001.12 m → N 59.220934°
E 38.671875°		 →
↑
5 004.42 m
↓
↑
5 004.42 m
↓
N 59.175928°
E 38.583985°		 ← 5 007.71 m →
25 044 211 m²		 N 59.175928°
E 38.671875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6072998046875 y=0.2947998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6072998046875 × 212)
    floor (0.6072998046875 × 4096)
    floor (2487.5)     		tx = 2487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2947998046875 × 212)
    floor (0.2947998046875 × 4096)
    floor (1207.5)     		ty = 1207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2487 / 1207 ti = "12/2487/1207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2487/1207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2487 ÷ 212
    2487 ÷ 4096     		x = 0.607177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1207 ÷ 212
    1207 ÷ 4096     		y = 0.294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607177734375 × 2 - 1) × π
    0.21435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67341757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294677734375 × 2 - 1) × π
    0.41064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29007784257495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67341757} λ = 0.67341757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29007784257495))-π/2
    2×atan(3.63306935221922)-π/2
    2×1.30219830625568-π/2
    2.60439661251136-1.57079632675     		φ = 1.03360029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67341757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.583985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03360029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.220934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2487 KachelY 1207 0.67341757 1.03360029 38.583985 59.220934
    Oben rechts KachelX + 1 2488 KachelY 1207 0.67495155 1.03360029 38.671875 59.220934
    Unten links KachelX 2487 KachelY + 1 1208 0.67341757 1.03281479 38.583985 59.175928
    Unten rechts KachelX + 1 2488 KachelY + 1 1208 0.67495155 1.03281479 38.671875 59.175928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03360029-1.03281479) × R
    0.000785500000000106 × 6371000     		dl = 5004.42050000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03360029-1.03281479) × R
    0.000785500000000106 × 6371000     		dr = 5004.42050000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67341757-0.67495155) × cos(1.03360029) × R
    0.00153397999999993 × 0.511728990100129 × 6371000     		do = 5001.1205528453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67341757-0.67495155) × cos(1.03281479) × R
    0.00153397999999993 × 0.512403692070203 × 6371000     		du = 5007.71440614434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03360029)-sin(1.03281479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511728990100129-0.512403692070203)×R²
    abs(0.67495155-0.67341757)×0.000674701970073688×R²
    0.00153397999999993×0.000674701970073688×6371000²
    0.00153397999999993×0.000674701970073688×40589641000000     		ar = 25044210.7126524m²