Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2487 / 1205
↖ ↑ ↗
← N 59.310768°
E 38.583985°		 ← 4 987.95 m → N 59.310768°
E 38.671875°		 →
↑
4 991.23 m
↓
↑
4 991.23 m
↓
N 59.265881°
E 38.583985°		 ← 4 994.53 m →
24 912 446 m²		 N 59.265881°
E 38.671875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6072998046875 y=0.2943115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6072998046875 × 212)
    floor (0.6072998046875 × 4096)
    floor (2487.5)     		tx = 2487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2943115234375 × 212)
    floor (0.2943115234375 × 4096)
    floor (1205.5)     		ty = 1205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2487 / 1205 ti = "12/2487/1205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2487/1205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2487 ÷ 212
    2487 ÷ 4096     		x = 0.607177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1205 ÷ 212
    1205 ÷ 4096     		y = 0.294189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607177734375 × 2 - 1) × π
    0.21435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67341757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294189453125 × 2 - 1) × π
    0.41162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29314580415063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67341757} λ = 0.67341757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29314580415063))-π/2
    2×atan(3.64423258482191)-π/2
    2×1.30298225474763-π/2
    2.60596450949526-1.57079632675     		φ = 1.03516818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67341757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.583985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03516818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.310768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2487 KachelY 1205 0.67341757 1.03516818 38.583985 59.310768
    Oben rechts KachelX + 1 2488 KachelY 1205 0.67495155 1.03516818 38.671875 59.310768
    Unten links KachelX 2487 KachelY + 1 1206 0.67341757 1.03438475 38.583985 59.265881
    Unten rechts KachelX + 1 2488 KachelY + 1 1206 0.67495155 1.03438475 38.671875 59.265881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03516818-1.03438475) × R
    0.000783430000000029 × 6371000     		dl = 4991.23253000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03516818-1.03438475) × R
    0.000783430000000029 × 6371000     		dr = 4991.23253000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67341757-0.67495155) × cos(1.03516818) × R
    0.00153397999999993 × 0.510381313791812 × 6371000     		do = 4987.94973036993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67341757-0.67495155) × cos(1.03438475) × R
    0.00153397999999993 × 0.511054866318333 × 6371000     		du = 4994.53235017255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03516818)-sin(1.03438475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510381313791812-0.511054866318333)×R²
    abs(0.67495155-0.67341757)×0.000673552526520904×R²
    0.00153397999999993×0.000673552526520904×6371000²
    0.00153397999999993×0.000673552526520904×40589641000000     		ar = 24912445.9194672m²