Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2485 / 1208
↖ ↑ ↗
← N 59.175928°
E 38.408203°		 ← 5 007.75 m → N 59.175928°
E 38.496094°		 →
↑
5 011.05 m
↓
↑
5 011.05 m
↓
N 59.130863°
E 38.408203°		 ← 5 014.35 m →
25 110 589 m²		 N 59.130863°
E 38.496094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6068115234375 y=0.2950439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6068115234375 × 212)
    floor (0.6068115234375 × 4096)
    floor (2485.5)     		tx = 2485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2950439453125 × 212)
    floor (0.2950439453125 × 4096)
    floor (1208.5)     		ty = 1208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2485 / 1208 ti = "12/2485/1208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2485/1208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2485 ÷ 212
    2485 ÷ 4096     		x = 0.606689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1208 ÷ 212
    1208 ÷ 4096     		y = 0.294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606689453125 × 2 - 1) × π
    0.21337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67034960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294921875 × 2 - 1) × π
    0.41015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28854386178711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67034960} λ = 0.67034960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28854386178711))-π/2
    2×atan(3.6275005659296)-π/2
    2×1.30180555632487-π/2
    2.60361111264973-1.57079632675     		φ = 1.03281479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67034960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.408203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03281479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.175928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2485 KachelY 1208 0.67034960 1.03281479 38.408203 59.175928
    Oben rechts KachelX + 1 2486 KachelY 1208 0.67188359 1.03281479 38.496094 59.175928
    Unten links KachelX 2485 KachelY + 1 1209 0.67034960 1.03202825 38.408203 59.130863
    Unten rechts KachelX + 1 2486 KachelY + 1 1209 0.67188359 1.03202825 38.496094 59.130863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03281479-1.03202825) × R
    0.000786540000000002 × 6371000     		dl = 5011.04634000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03281479-1.03202825) × R
    0.000786540000000002 × 6371000     		dr = 5011.04634000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67034960-0.67188359) × cos(1.03281479) × R
    0.00153398999999999 × 0.512403692070203 × 6371000     		do = 5007.74705138372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67034960-0.67188359) × cos(1.03202825) × R
    0.00153398999999999 × 0.513078970557303 × 6371000     		du = 5014.3465819979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03281479)-sin(1.03202825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512403692070203-0.513078970557303)×R²
    abs(0.67188359-0.67034960)×0.000675278487099917×R²
    0.00153398999999999×0.000675278487099917×6371000²
    0.00153398999999999×0.000675278487099917×40589641000000     		ar = 25110589.1048929m²