Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2479 / 1203
↖ ↑ ↗
← N 59.400365°
E 37.880859°		 ← 4 974.80 m → N 59.400365°
E 37.968750°		 →
↑
4 978.11 m
↓
↑
4 978.11 m
↓
N 59.355596°
E 37.880859°		 ← 4 981.37 m →
24 781 457 m²		 N 59.355596°
E 37.968750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6053466796875 y=0.2938232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6053466796875 × 212)
    floor (0.6053466796875 × 4096)
    floor (2479.5)     		tx = 2479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2938232421875 × 212)
    floor (0.2938232421875 × 4096)
    floor (1203.5)     		ty = 1203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2479 / 1203 ti = "12/2479/1203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2479/1203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2479 ÷ 212
    2479 ÷ 4096     		x = 0.605224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1203 ÷ 212
    1203 ÷ 4096     		y = 0.293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.605224609375 × 2 - 1) × π
    0.21044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.66114572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293701171875 × 2 - 1) × π
    0.41259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29621376572632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66114572} λ = 0.66114572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29621376572632))-π/2
    2×atan(3.65543011838339)-π/2
    2×1.30376413768487-π/2
    2.60752827536973-1.57079632675     		φ = 1.03673195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66114572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.880859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03673195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.400365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2479 KachelY 1203 0.66114572 1.03673195 37.880859 59.400365
    Oben rechts KachelX + 1 2480 KachelY 1203 0.66267970 1.03673195 37.968750 59.400365
    Unten links KachelX 2479 KachelY + 1 1204 0.66114572 1.03595058 37.880859 59.355596
    Unten rechts KachelX + 1 2480 KachelY + 1 1204 0.66267970 1.03595058 37.968750 59.355596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03673195-1.03595058) × R
    0.000781370000000114 × 6371000     		dl = 4978.10827000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03673195-1.03595058) × R
    0.000781370000000114 × 6371000     		dr = 4978.10827000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66114572-0.66267970) × cos(1.03673195) × R
    0.00153397999999993 × 0.509035929098899 × 6371000     		do = 4974.80130382116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66114572-0.66267970) × cos(1.03595058) × R
    0.00153397999999993 × 0.509708334170315 × 6371000     		du = 4981.37270956043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03673195)-sin(1.03595058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509035929098899-0.509708334170315)×R²
    abs(0.66267970-0.66114572)×0.00067240507141586×R²
    0.00153397999999993×0.00067240507141586×6371000²
    0.00153397999999993×0.00067240507141586×40589641000000     		ar = 24781457.3576295m²