Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2479 / 1202
↖ ↑ ↗
← N 59.445075°
E 37.880859°		 ← 4 968.24 m → N 59.445075°
E 37.968750°		 →
↑
4 971.48 m
↓
↑
4 971.48 m
↓
N 59.400365°
E 37.880859°		 ← 4 974.80 m →
24 715 818 m²		 N 59.400365°
E 37.968750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6053466796875 y=0.2935791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6053466796875 × 212)
    floor (0.6053466796875 × 4096)
    floor (2479.5)     		tx = 2479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2935791015625 × 212)
    floor (0.2935791015625 × 4096)
    floor (1202.5)     		ty = 1202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2479 / 1202 ti = "12/2479/1202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2479/1202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2479 ÷ 212
    2479 ÷ 4096     		x = 0.605224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1202 ÷ 212
    1202 ÷ 4096     		y = 0.29345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.605224609375 × 2 - 1) × π
    0.21044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.66114572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29345703125 × 2 - 1) × π
    0.4130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29774774651416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66114572} λ = 0.66114572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29774774651416))-π/2
    2×atan(3.66104178094717)-π/2
    2×1.30415430567485-π/2
    2.60830861134971-1.57079632675     		φ = 1.03751228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66114572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.880859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03751228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.445075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2479 KachelY 1202 0.66114572 1.03751228 37.880859 59.445075
    Oben rechts KachelX + 1 2480 KachelY 1202 0.66267970 1.03751228 37.968750 59.445075
    Unten links KachelX 2479 KachelY + 1 1203 0.66114572 1.03673195 37.880859 59.400365
    Unten rechts KachelX + 1 2480 KachelY + 1 1203 0.66267970 1.03673195 37.968750 59.400365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03751228-1.03673195) × R
    0.000780329999999996 × 6371000     		dl = 4971.48242999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03751228-1.03673195) × R
    0.000780329999999996 × 6371000     		dr = 4971.48242999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66114572-0.66267970) × cos(1.03751228) × R
    0.00153397999999993 × 0.508364108829362 × 6371000     		do = 4968.23561334281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66114572-0.66267970) × cos(1.03673195) × R
    0.00153397999999993 × 0.509035929098899 × 6371000     		du = 4974.80130382116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03751228)-sin(1.03673195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508364108829362-0.509035929098899)×R²
    abs(0.66267970-0.66114572)×0.000671820269536605×R²
    0.00153397999999993×0.000671820269536605×6371000²
    0.00153397999999993×0.000671820269536605×40589641000000     		ar = 24715817.9214122m²