Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2477 / 1198
↖ ↑ ↗
← N 59.623325°
E 37.705078°		 ← 4 942.03 m → N 59.623325°
E 37.792969°		 →
↑
4 945.30 m
↓
↑
4 945.30 m
↓
N 59.578851°
E 37.705078°		 ← 4 948.57 m →
24 455 985 m²		 N 59.578851°
E 37.792969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6048583984375 y=0.2926025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6048583984375 × 212)
    floor (0.6048583984375 × 4096)
    floor (2477.5)     		tx = 2477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2926025390625 × 212)
    floor (0.2926025390625 × 4096)
    floor (1198.5)     		ty = 1198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2477 / 1198 ti = "12/2477/1198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2477/1198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2477 ÷ 212
    2477 ÷ 4096     		x = 0.604736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1198 ÷ 212
    1198 ÷ 4096     		y = 0.29248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604736328125 × 2 - 1) × π
    0.20947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.65807776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29248046875 × 2 - 1) × π
    0.4150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30388366966553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65807776} λ = 0.65807776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30388366966553))-π/2
    2×atan(3.68357471143775)-π/2
    2×1.30570983145353-π/2
    2.61141966290706-1.57079632675     		φ = 1.04062334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65807776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.705078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04062334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.623325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2477 KachelY 1198 0.65807776 1.04062334 37.705078 59.623325
    Oben rechts KachelX + 1 2478 KachelY 1198 0.65961174 1.04062334 37.792969 59.623325
    Unten links KachelX 2477 KachelY + 1 1199 0.65807776 1.03984712 37.705078 59.578851
    Unten rechts KachelX + 1 2478 KachelY + 1 1199 0.65961174 1.03984712 37.792969 59.578851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04062334-1.03984712) × R
    0.000776220000000105 × 6371000     		dl = 4945.29762000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04062334-1.03984712) × R
    0.000776220000000105 × 6371000     		dr = 4945.29762000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65807776-0.65961174) × cos(1.04062334) × R
    0.00153398000000005 × 0.505682587869946 × 6371000     		do = 4942.0291449928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65807776-0.65961174) × cos(1.03984712) × R
    0.00153398000000005 × 0.506352095674761 × 6371000     		du = 4948.57223578447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04062334)-sin(1.03984712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505682587869946-0.506352095674761)×R²
    abs(0.65961174-0.65807776)×0.000669507804815228×R²
    0.00153398000000005×0.000669507804815228×6371000²
    0.00153398000000005×0.000669507804815228×40589641000000     		ar = 24455984.9623015m²