Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2473 / 1193
↖ ↑ ↗
← N 59.844815°
E 37.353515°		 ← 4 909.43 m → N 59.844815°
E 37.441407°		 →
↑
4 912.68 m
↓
↑
4 912.68 m
↓
N 59.800634°
E 37.353515°		 ← 4 915.95 m →
24 134 458 m²		 N 59.800634°
E 37.441407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6038818359375 y=0.2913818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6038818359375 × 212)
    floor (0.6038818359375 × 4096)
    floor (2473.5)     		tx = 2473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2913818359375 × 212)
    floor (0.2913818359375 × 4096)
    floor (1193.5)     		ty = 1193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2473 / 1193 ti = "12/2473/1193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2473/1193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2473 ÷ 212
    2473 ÷ 4096     		x = 0.603759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1193 ÷ 212
    1193 ÷ 4096     		y = 0.291259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603759765625 × 2 - 1) × π
    0.20751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65194183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291259765625 × 2 - 1) × π
    0.41748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31155357360474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65194183} λ = 0.65194183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31155357360474))-π/2
    2×atan(3.71193600077478)-π/2
    2×1.30764269316205-π/2
    2.6152853863241-1.57079632675     		φ = 1.04448906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65194183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.353515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04448906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.844815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2473 KachelY 1193 0.65194183 1.04448906 37.353515 59.844815
    Oben rechts KachelX + 1 2474 KachelY 1193 0.65347582 1.04448906 37.441407 59.844815
    Unten links KachelX 2473 KachelY + 1 1194 0.65194183 1.04371796 37.353515 59.800634
    Unten rechts KachelX + 1 2474 KachelY + 1 1194 0.65347582 1.04371796 37.441407 59.800634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04448906-1.04371796) × R
    0.000771100000000136 × 6371000     		dl = 4912.67810000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04448906-1.04371796) × R
    0.000771100000000136 × 6371000     		dr = 4912.67810000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65194183-0.65347582) × cos(1.04448906) × R
    0.00153398999999999 × 0.502343785334277 × 6371000     		do = 4909.43107694081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65194183-0.65347582) × cos(1.04371796) × R
    0.00153398999999999 × 0.503010381404526 × 6371000     		du = 4915.94575385846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04448906)-sin(1.04371796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502343785334277-0.503010381404526)×R²
    abs(0.65347582-0.65194183)×0.000666596070248326×R²
    0.00153398999999999×0.000666596070248326×6371000²
    0.00153398999999999×0.000666596070248326×40589641000000     		ar = 24134457.9863141m²