Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2462 / 1178
↖ ↑ ↗
← N 60.500526°
E 36.386719°		 ← 4 812.37 m → N 60.500526°
E 36.474610°		 →
↑
4 815.58 m
↓
↑
4 815.58 m
↓
N 60.457218°
E 36.386719°		 ← 4 818.80 m →
23 189 855 m²		 N 60.457218°
E 36.474610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6011962890625 y=0.2877197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6011962890625 × 212)
    floor (0.6011962890625 × 4096)
    floor (2462.5)     		tx = 2462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2877197265625 × 212)
    floor (0.2877197265625 × 4096)
    floor (1178.5)     		ty = 1178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2462 / 1178 ti = "12/2462/1178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2462/1178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2462 ÷ 212
    2462 ÷ 4096     		x = 0.60107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1178 ÷ 212
    1178 ÷ 4096     		y = 0.28759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60107421875 × 2 - 1) × π
    0.2021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.63506805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28759765625 × 2 - 1) × π
    0.4248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.33456328542236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63506805} λ = 0.63506805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33456328542236))-π/2
    2×atan(3.79833679510866)-π/2
    2×1.31336484718801-π/2
    2.62672969437603-1.57079632675     		φ = 1.05593337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63506805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.386719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05593337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.500526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2462 KachelY 1178 0.63506805 1.05593337 36.386719 60.500526
    Oben rechts KachelX + 1 2463 KachelY 1178 0.63660203 1.05593337 36.474610 60.500526
    Unten links KachelX 2462 KachelY + 1 1179 0.63506805 1.05517751 36.386719 60.457218
    Unten rechts KachelX + 1 2463 KachelY + 1 1179 0.63660203 1.05517751 36.474610 60.457218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05593337-1.05517751) × R
    0.000755859999999942 × 6371000     		dl = 4815.58405999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05593337-1.05517751) × R
    0.000755859999999942 × 6371000     		dr = 4815.58405999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63506805-0.63660203) × cos(1.05593337) × R
    0.00153398000000005 × 0.492415576707331 × 6371000     		do = 4812.37082294385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63506805-0.63660203) × cos(1.05517751) × R
    0.00153398000000005 × 0.493073306450549 × 6371000     		du = 4818.79880689759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05593337)-sin(1.05517751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.492415576707331-0.493073306450549)×R²
    abs(0.63660203-0.63506805)×0.000657729743217816×R²
    0.00153398000000005×0.000657729743217816×6371000²
    0.00153398000000005×0.000657729743217816×40589641000000     		ar = 23189854.5783924m²