Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2385 / 2289
↖ ↑ ↗
← S 20.715015°
E 29.619141°		 ← 9 141.18 m → S 20.715015°
E 29.707031°		 →
↑
9 138.69 m
↓
↑
9 138.69 m
↓
S 20.797201°
E 29.619141°		 ← 9 136.21 m →
83 515 689 m²		 S 20.797201°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5823974609375 y=0.5589599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5823974609375 × 212)
    floor (0.5823974609375 × 4096)
    floor (2385.5)     		tx = 2385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5589599609375 × 212)
    floor (0.5589599609375 × 4096)
    floor (2289.5)     		ty = 2289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2385 / 2289 ti = "12/2385/2289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2385/2289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2385 ÷ 212
    2385 ÷ 4096     		x = 0.582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2289 ÷ 212
    2289 ÷ 4096     		y = 0.558837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582275390625 × 2 - 1) × π
    0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558837890625 × 2 - 1) × π
    -0.11767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.369689369869873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51695153} λ = 0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369689369869873))-π/2
    2×atan(0.690948926860665)-π/2
    2×0.604625553957551-π/2
    1.2092511079151-1.57079632675     		φ = -0.36154522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36154522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.715015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2385 KachelY 2289 0.51695153 -0.36154522 29.619141 -20.715015
    Oben rechts KachelX + 1 2386 KachelY 2289 0.51848551 -0.36154522 29.707031 -20.715015
    Unten links KachelX 2385 KachelY + 1 2290 0.51695153 -0.36297964 29.619141 -20.797201
    Unten rechts KachelX + 1 2386 KachelY + 1 2290 0.51848551 -0.36297964 29.707031 -20.797201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36154522--0.36297964) × R
    0.00143441999999999 × 6371000     		dl = 9138.68981999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36154522--0.36297964) × R
    0.00143441999999999 × 6371000     		dr = 9138.68981999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51695153-0.51848551) × cos(-0.36154522) × R
    0.00153397999999993 × 0.935351365381345 × 6371000     		do = 9141.17634145617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51695153-0.51848551) × cos(-0.36297964) × R
    0.00153397999999993 × 0.934843020272642 × 6371000     		du = 9136.20829153081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36154522)-sin(-0.36297964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935351365381345-0.934843020272642)×R²
    abs(0.51848551-0.51695153)×0.00050834510870279×R²
    0.00153397999999993×0.00050834510870279×6371000²
    0.00153397999999993×0.00050834510870279×40589641000000     		ar = 83515688.760735m²