Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2385 / 2287
↖ ↑ ↗
← S 20.550509°
E 29.619141°		 ← 9 151.06 m → S 20.550509°
E 29.707031°		 →
↑
9 148.63 m
↓
↑
9 148.63 m
↓
S 20.632784°
E 29.619141°		 ← 9 146.13 m →
83 697 123 m²		 S 20.632784°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5823974609375 y=0.5584716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5823974609375 × 212)
    floor (0.5823974609375 × 4096)
    floor (2385.5)     		tx = 2385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5584716796875 × 212)
    floor (0.5584716796875 × 4096)
    floor (2287.5)     		ty = 2287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2385 / 2287 ti = "12/2385/2287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2385/2287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2385 ÷ 212
    2385 ÷ 4096     		x = 0.582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2287 ÷ 212
    2287 ÷ 4096     		y = 0.558349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582275390625 × 2 - 1) × π
    0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558349609375 × 2 - 1) × π
    -0.11669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.366621408294189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51695153} λ = 0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.366621408294189))-π/2
    2×atan(0.693071986686763)-π/2
    2×0.606061141820308-π/2
    1.21212228364062-1.57079632675     		φ = -0.35867404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35867404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.550509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2385 KachelY 2287 0.51695153 -0.35867404 29.619141 -20.550509
    Oben rechts KachelX + 1 2386 KachelY 2287 0.51848551 -0.35867404 29.707031 -20.550509
    Unten links KachelX 2385 KachelY + 1 2288 0.51695153 -0.36011002 29.619141 -20.632784
    Unten rechts KachelX + 1 2386 KachelY + 1 2288 0.51848551 -0.36011002 29.707031 -20.632784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35867404--0.36011002) × R
    0.00143597999999995 × 6371000     		dl = 9148.62857999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35867404--0.36011002) × R
    0.00143597999999995 × 6371000     		dr = 9148.62857999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51695153-0.51848551) × cos(-0.35867404) × R
    0.00153397999999993 × 0.936363102350712 × 6371000     		do = 9151.06403328029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51695153-0.51848551) × cos(-0.36011002) × R
    0.00153397999999993 × 0.935858060802633 × 6371000     		du = 9146.12826900857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35867404)-sin(-0.36011002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936363102350712-0.935858060802633)×R²
    abs(0.51848551-0.51695153)×0.000505041548079066×R²
    0.00153397999999993×0.000505041548079066×6371000²
    0.00153397999999993×0.000505041548079066×40589641000000     		ar = 83697122.5974619m²