Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2352 / 2291
↖ ↑ ↗
← S 20.879343°
E 26.718750°		 ← 9 131.22 m → S 20.879343°
E 26.806641°		 →
↑
9 128.75 m
↓
↑
9 128.75 m
↓
S 20.961440°
E 26.718750°		 ← 9 126.22 m →
83 333 864 m²		 S 20.961440°
E 26.806641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5743408203125 y=0.5594482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5743408203125 × 212)
    floor (0.5743408203125 × 4096)
    floor (2352.5)     		tx = 2352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5594482421875 × 212)
    floor (0.5594482421875 × 4096)
    floor (2291.5)     		ty = 2291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2352 / 2291 ti = "12/2352/2291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2352/2291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2352 ÷ 212
    2352 ÷ 4096     		x = 0.57421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2291 ÷ 212
    2291 ÷ 4096     		y = 0.559326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57421875 × 2 - 1) × π
    0.1484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46633016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559326171875 × 2 - 1) × π
    -0.11865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.372757331445557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46633016} λ = 0.46633016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372757331445557))-π/2
    2×atan(0.688832370519214)-π/2
    2×0.603191523145524-π/2
    1.20638304629105-1.57079632675     		φ = -0.36441328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46633016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36441328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.879343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2352 KachelY 2291 0.46633016 -0.36441328 26.718750 -20.879343
    Oben rechts KachelX + 1 2353 KachelY 2291 0.46786414 -0.36441328 26.806641 -20.879343
    Unten links KachelX 2352 KachelY + 1 2292 0.46633016 -0.36584614 26.718750 -20.961440
    Unten rechts KachelX + 1 2353 KachelY + 1 2292 0.46786414 -0.36584614 26.806641 -20.961440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36441328--0.36584614) × R
    0.00143285999999998 × 6371000     		dl = 9128.75105999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36441328--0.36584614) × R
    0.00143285999999998 × 6371000     		dr = 9128.75105999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46633016-0.46786414) × cos(-0.36441328) × R
    0.00153397999999999 × 0.934333029661168 × 6371000     		do = 9131.22416012928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46633016-0.46786414) × cos(-0.36584614) × R
    0.00153397999999999 × 0.933821397730396 × 6371000     		du = 9126.22398813595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36441328)-sin(-0.36584614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934333029661168-0.933821397730396)×R²
    abs(0.46786414-0.46633016)×0.000511631930771972×R²
    0.00153397999999999×0.000511631930771972×6371000²
    0.00153397999999999×0.000511631930771972×40589641000000     		ar = 83333863.8258291m²