Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 234 / 347
↖ ↑ ↗
← S 53.748711°
W 15.468750°		 ← 46.232 km → S 53.748711°
W 14.765625°		 →
↑
46.004 km
↓
↑
46.004 km
↓
S 54.162434°
W 15.468750°		 ← 45.776 km →
2 116.38 km²		 S 54.162434°
W 14.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4580078125 y=0.6787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4580078125 × 29)
    floor (0.4580078125 × 512)
    floor (234.5)     		tx = 234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6787109375 × 29)
    floor (0.6787109375 × 512)
    floor (347.5)     		ty = 347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 234 / 347 ti = "9/234/347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/234/347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 234 ÷ 29
    234 ÷ 512     		x = 0.45703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 347 ÷ 29
    347 ÷ 512     		y = 0.677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45703125 × 2 - 1) × π
    -0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677734375 × 2 - 1) × π
    -0.35546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.11673801354883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26998062} λ = -0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11673801354883))-π/2
    2×atan(0.327345852680574)-π/2
    2×0.316352177352829-π/2
    0.632704354705659-1.57079632675     		φ = -0.93809197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93809197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.748711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 234 KachelY 347 -0.26998062 -0.93809197 -15.468750 -53.748711
    Oben rechts KachelX + 1 235 KachelY 347 -0.25770877 -0.93809197 -14.765625 -53.748711
    Unten links KachelX 234 KachelY + 1 348 -0.26998062 -0.94531280 -15.468750 -54.162434
    Unten rechts KachelX + 1 235 KachelY + 1 348 -0.25770877 -0.94531280 -14.765625 -54.162434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93809197--0.94531280) × R
    0.00722082999999996 × 6371000     		dl = 46003.9079299997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93809197--0.94531280) × R
    0.00722082999999996 × 6371000     		dr = 46003.9079299997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26998062--0.25770877) × cos(-0.93809197) × R
    0.01227185 × 0.591327795594016 × 6371000     		do = 46232.3465592644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26998062--0.25770877) × cos(-0.94531280) × R
    0.01227185 × 0.585489326925804 × 6371000     		du = 45775.8719797581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93809197)-sin(-0.94531280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591327795594016-0.585489326925804)×R²
    abs(-0.25770877--0.26998062)×0.00583846866821169×R²
    0.01227185×0.00583846866821169×6371000²
    0.01227185×0.00583846866821169×40589641000000     		ar = 2116378002.97472m²