Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2331 / 2341
↖ ↑ ↗
← S 24.926295°
E 24.873047°		 ← 8 862.64 m → S 24.926295°
E 24.960937°		 →
↑
8 859.83 m
↓
↑
8 859.83 m
↓
S 25.005973°
E 24.873047°		 ← 8 856.90 m →
78 496 092 m²		 S 25.005973°
E 24.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5692138671875 y=0.5716552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5692138671875 × 212)
    floor (0.5692138671875 × 4096)
    floor (2331.5)     		tx = 2331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5716552734375 × 212)
    floor (0.5716552734375 × 4096)
    floor (2341.5)     		ty = 2341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2331 / 2341 ti = "12/2331/2341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2331/2341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2331 ÷ 212
    2331 ÷ 4096     		x = 0.569091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2341 ÷ 212
    2341 ÷ 4096     		y = 0.571533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569091796875 × 2 - 1) × π
    0.13818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43411656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.571533203125 × 2 - 1) × π
    -0.14306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.449456370837647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43411656} λ = 0.43411656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.449456370837647))-π/2
    2×atan(0.637974879116782)-π/2
    2×0.567875206405156-π/2
    1.13575041281031-1.57079632675     		φ = -0.43504591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43411656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43504591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.926295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2331 KachelY 2341 0.43411656 -0.43504591 24.873047 -24.926295
    Oben rechts KachelX + 1 2332 KachelY 2341 0.43565054 -0.43504591 24.960937 -24.926295
    Unten links KachelX 2331 KachelY + 1 2342 0.43411656 -0.43643656 24.873047 -25.005973
    Unten rechts KachelX + 1 2332 KachelY + 1 2342 0.43565054 -0.43643656 24.960937 -25.005973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43504591--0.43643656) × R
    0.00139064999999999 × 6371000     		dl = 8859.83114999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43504591--0.43643656) × R
    0.00139064999999999 × 6371000     		dr = 8859.83114999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43411656-0.43565054) × cos(-0.43504591) × R
    0.00153397999999999 × 0.906850694392099 × 6371000     		do = 8862.63966635761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43411656-0.43565054) × cos(-0.43643656) × R
    0.00153397999999999 × 0.906263725425577 × 6371000     		du = 8856.90322652492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43504591)-sin(-0.43643656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906850694392099-0.906263725425577)×R²
    abs(0.43565054-0.43411656)×0.000586968966521551×R²
    0.00153397999999999×0.000586968966521551×6371000²
    0.00153397999999999×0.000586968966521551×40589641000000     		ar = 78496091.6934088m²