Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2322 / 2323
↖ ↑ ↗
← S 23.483401°
E 24.082031°		 ← 8 963.54 m → S 23.483401°
E 24.169922°		 →
↑
8 960.81 m
↓
↑
8 960.81 m
↓
S 23.563987°
E 24.082031°		 ← 8 958.06 m →
80 296 064 m²		 S 23.563987°
E 24.169922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5670166015625 y=0.5672607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5670166015625 × 212)
    floor (0.5670166015625 × 4096)
    floor (2322.5)     		tx = 2322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5672607421875 × 212)
    floor (0.5672607421875 × 4096)
    floor (2323.5)     		ty = 2323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2322 / 2323 ti = "12/2322/2323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2322/2323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2322 ÷ 212
    2322 ÷ 4096     		x = 0.56689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2323 ÷ 212
    2323 ÷ 4096     		y = 0.567138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56689453125 × 2 - 1) × π
    0.1337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42031074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.13427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.421844716656494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42031074} λ = 0.42031074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.421844716656494))-π/2
    2×atan(0.655835871873769)-π/2
    2×0.580466832911491-π/2
    1.16093366582298-1.57079632675     		φ = -0.40986266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42031074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.082031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40986266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.483401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2322 KachelY 2323 0.42031074 -0.40986266 24.082031 -23.483401
    Oben rechts KachelX + 1 2323 KachelY 2323 0.42184472 -0.40986266 24.169922 -23.483401
    Unten links KachelX 2322 KachelY + 1 2324 0.42031074 -0.41126916 24.082031 -23.563987
    Unten rechts KachelX + 1 2323 KachelY + 1 2324 0.42184472 -0.41126916 24.169922 -23.563987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40986266--0.41126916) × R
    0.00140650000000003 × 6371000     		dl = 8960.81150000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40986266--0.41126916) × R
    0.00140650000000003 × 6371000     		dr = 8960.81150000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42031074-0.42184472) × cos(-0.40986266) × R
    0.00153397999999999 × 0.917175559172046 × 6371000     		do = 8963.54443129234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42031074-0.42184472) × cos(-0.41126916) × R
    0.00153397999999999 × 0.916614185303787 × 6371000     		du = 8958.05813201149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40986266)-sin(-0.41126916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917175559172046-0.916614185303787)×R²
    abs(0.42184472-0.42031074)×0.000561373868258386×R²
    0.00153397999999999×0.000561373868258386×6371000²
    0.00153397999999999×0.000561373868258386×40589641000000     		ar = 80296064.4109307m²