Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 232 / 349
↖ ↑ ↗
← S 54.572062°
W 16.875000°		 ← 45.322 km → S 54.572062°
W 16.171875°		 →
↑
45.095 km
↓
↑
45.095 km
↓
S 54.977613°
W 16.875000°		 ← 44.869 km →
2 033.60 km²		 S 54.977613°
W 16.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4541015625 y=0.6826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4541015625 × 29)
    floor (0.4541015625 × 512)
    floor (232.5)     		tx = 232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6826171875 × 29)
    floor (0.6826171875 × 512)
    floor (349.5)     		ty = 349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 232 / 349 ti = "9/232/349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/232/349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 232 ÷ 29
    232 ÷ 512     		x = 0.453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 349 ÷ 29
    349 ÷ 512     		y = 0.681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453125 × 2 - 1) × π
    -0.09375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681640625 × 2 - 1) × π
    -0.36328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1412817061543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29452431} λ = -0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1412817061543))-π/2
    2×atan(0.319409370390238)-π/2
    2×0.309167085660608-π/2
    0.618334171321217-1.57079632675     		φ = -0.95246216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95246216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.572062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 232 KachelY 349 -0.29452431 -0.95246216 -16.875000 -54.572062
    Oben rechts KachelX + 1 233 KachelY 349 -0.28225246 -0.95246216 -16.171875 -54.572062
    Unten links KachelX 232 KachelY + 1 350 -0.29452431 -0.95954037 -16.875000 -54.977613
    Unten rechts KachelX + 1 233 KachelY + 1 350 -0.28225246 -0.95954037 -16.171875 -54.977613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95246216--0.95954037) × R
    0.00707821000000008 × 6371000     		dl = 45095.2759100005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95246216--0.95954037) × R
    0.00707821000000008 × 6371000     		dr = 45095.2759100005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29452431--0.28225246) × cos(-0.95246216) × R
    0.01227185 × 0.579678569220153 × 6371000     		do = 45321.563952939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29452431--0.28225246) × cos(-0.95954037) × R
    0.01227185 × 0.573896450498898 × 6371000     		du = 44869.4950352259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95246216)-sin(-0.95954037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579678569220153-0.573896450498898)×R²
    abs(-0.28225246--0.29452431)×0.005782118721255×R²
    0.01227185×0.005782118721255×6371000²
    0.01227185×0.005782118721255×40589641000000     		ar = 2033603835.32544m²