Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 231 / 361
↖ ↑ ↗
← S 59.175928°
W 17.578125°		 ← 40.062 km → S 59.175928°
W 16.875000°		 →
↑
39.851 km
↓
↑
39.851 km
↓
S 59.534318°
W 17.578125°		 ← 39.641 km →
1 588.13 km²		 S 59.534318°
W 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4521484375 y=0.7060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4521484375 × 29)
    floor (0.4521484375 × 512)
    floor (231.5)     		tx = 231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7060546875 × 29)
    floor (0.7060546875 × 512)
    floor (361.5)     		ty = 361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 231 / 361 ti = "9/231/361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/231/361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 231 ÷ 29
    231 ÷ 512     		x = 0.451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 361 ÷ 29
    361 ÷ 512     		y = 0.705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451171875 × 2 - 1) × π
    -0.09765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30679616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.705078125 × 2 - 1) × π
    -0.41015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.28854386178711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30679616} λ = -0.30679616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.28854386178711))-π/2
    2×atan(0.275671907371222)-π/2
    2×0.26899077047003-π/2
    0.537981540940059-1.57079632675     		φ = -1.03281479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30679616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.03281479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -59.175928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 231 KachelY 361 -0.30679616 -1.03281479 -17.578125 -59.175928
    Oben rechts KachelX + 1 232 KachelY 361 -0.29452431 -1.03281479 -16.875000 -59.175928
    Unten links KachelX 231 KachelY + 1 362 -0.30679616 -1.03906987 -17.578125 -59.534318
    Unten rechts KachelX + 1 232 KachelY + 1 362 -0.29452431 -1.03906987 -16.875000 -59.534318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.03281479--1.03906987) × R
    0.00625508000000008 × 6371000     		dl = 39851.1146800005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.03281479--1.03906987) × R
    0.00625508000000008 × 6371000     		dr = 39851.1146800005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30679616--0.29452431) × cos(-1.03281479) × R
    0.01227185 × 0.512403692070203 × 6371000     		do = 40061.7478943955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30679616--0.29452431) × cos(-1.03906987) × R
    0.01227185 × 0.507022186184862 × 6371000     		du = 39641.0004731587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.03281479)-sin(-1.03906987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512403692070203-0.507022186184862)×R²
    abs(-0.29452431--0.30679616)×0.00538150588534159×R²
    0.01227185×0.00538150588534159×6371000²
    0.01227185×0.00538150588534159×40589641000000     		ar = 1588126860.84769m²