Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 231 / 340
↖ ↑ ↗
← S 50.736455°
W 17.578125°		 ← 49.482 km → S 50.736455°
W 16.875000°		 →
↑
49.247 km
↓
↑
49.247 km
↓
S 51.179343°
W 17.578125°		 ← 49.012 km →
2 425.27 km²		 S 51.179343°
W 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4521484375 y=0.6650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4521484375 × 29)
    floor (0.4521484375 × 512)
    floor (231.5)     		tx = 231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6650390625 × 29)
    floor (0.6650390625 × 512)
    floor (340.5)     		ty = 340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 231 / 340 ti = "9/231/340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/231/340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 231 ÷ 29
    231 ÷ 512     		x = 0.451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 340 ÷ 29
    340 ÷ 512     		y = 0.6640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451171875 × 2 - 1) × π
    -0.09765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30679616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6640625 × 2 - 1) × π
    -0.328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03083508942969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30679616} λ = -0.30679616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03083508942969))-π/2
    2×atan(0.356708952279156)-π/2
    2×0.342639066941159-π/2
    0.685278133882317-1.57079632675     		φ = -0.88551819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30679616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88551819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.736455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 231 KachelY 340 -0.30679616 -0.88551819 -17.578125 -50.736455
    Oben rechts KachelX + 1 232 KachelY 340 -0.29452431 -0.88551819 -16.875000 -50.736455
    Unten links KachelX 231 KachelY + 1 341 -0.30679616 -0.89324804 -17.578125 -51.179343
    Unten rechts KachelX + 1 232 KachelY + 1 341 -0.29452431 -0.89324804 -16.875000 -51.179343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88551819--0.89324804) × R
    0.00772985000000004 × 6371000     		dl = 49246.8743500002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88551819--0.89324804) × R
    0.00772985000000004 × 6371000     		dr = 49246.8743500002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30679616--0.29452431) × cos(-0.88551819) × R
    0.01227185 × 0.632888381473458 × 6371000     		do = 49481.7175915429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30679616--0.29452431) × cos(-0.89324804) × R
    0.01227185 × 0.626884750821521 × 6371000     		du = 49012.3299947103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88551819)-sin(-0.89324804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632888381473458-0.626884750821521)×R²
    abs(-0.29452431--0.30679616)×0.00600363065193754×R²
    0.01227185×0.00600363065193754×6371000²
    0.01227185×0.00600363065193754×40589641000000     		ar = 2425274068.82482m²