Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22673 / 14414
↖ ↑ ↗
← N 21.145992°
E 69.093018°		 ← 1 139.32 m → N 21.145992°
E 69.104004°		 →
↑
1 139.45 m
↓
↑
1 139.45 m
↓
N 21.135745°
E 69.093018°		 ← 1 139.40 m →
1 298 247 m²		 N 21.135745°
E 69.104004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691940307617188 y=0.439895629882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691940307617188 × 215)
    floor (0.691940307617188 × 32768)
    floor (22673.5)     		tx = 22673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439895629882812 × 215)
    floor (0.439895629882812 × 32768)
    floor (14414.5)     		ty = 14414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22673 / 14414 ti = "15/22673/14414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22673/14414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22673 ÷ 215
    22673 ÷ 32768     		x = 0.691925048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14414 ÷ 215
    14414 ÷ 32768     		y = 0.43988037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691925048828125 × 2 - 1) × π
    0.38385009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.20590065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43988037109375 × 2 - 1) × π
    0.1202392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.377742769006042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20590065} λ = 1.20590065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377742769006042))-π/2
    2×atan(1.45898759777272)-π/2
    2×0.969931756832133-π/2
    1.93986351366427-1.57079632675     		φ = 0.36906719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20590065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.093018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36906719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.145992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22673 KachelY 14414 1.20590065 0.36906719 69.093018 21.145992
    Oben rechts KachelX + 1 22674 KachelY 14414 1.20609239 0.36906719 69.104004 21.145992
    Unten links KachelX 22673 KachelY + 1 14415 1.20590065 0.36888834 69.093018 21.135745
    Unten rechts KachelX + 1 22674 KachelY + 1 14415 1.20609239 0.36888834 69.104004 21.135745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36906719-0.36888834) × R
    0.000178850000000008 × 6371000     		dl = 1139.45335000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36906719-0.36888834) × R
    0.000178850000000008 × 6371000     		dr = 1139.45335000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20590065-1.20609239) × cos(0.36906719) × R
    0.000191739999999996 × 0.932664258423144 × 6371000     		do = 1139.31984512193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20590065-1.20609239) × cos(0.36888834) × R
    0.000191739999999996 × 0.932728762854943 × 6371000     		du = 1139.39864215803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36906719)-sin(0.36888834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932664258423144-0.932728762854943)×R²
    abs(1.20609239-1.20590065)×6.45044317995058e-05×R²
    0.000191739999999996×6.45044317995058e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.45044317995058e-05×40589641000000     		ar = 1298246.71047947m²