Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22646 / 14419
↖ ↑ ↗
← N 21.094750°
E 68.796387°		 ← 1 139.77 m → N 21.094750°
E 68.807373°		 →
↑
1 139.77 m
↓
↑
1 139.77 m
↓
N 21.084500°
E 68.796387°		 ← 1 139.85 m →
1 299 126 m²		 N 21.084500°
E 68.807373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691116333007812 y=0.440048217773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691116333007812 × 215)
    floor (0.691116333007812 × 32768)
    floor (22646.5)     		tx = 22646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440048217773438 × 215)
    floor (0.440048217773438 × 32768)
    floor (14419.5)     		ty = 14419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22646 / 14419 ti = "15/22646/14419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22646/14419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22646 ÷ 215
    22646 ÷ 32768     		x = 0.69110107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14419 ÷ 215
    14419 ÷ 32768     		y = 0.440032958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69110107421875 × 2 - 1) × π
    0.3822021484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.20072346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440032958984375 × 2 - 1) × π
    0.11993408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.376784031013641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20072346} λ = 1.20072346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376784031013641))-π/2
    2×atan(1.4575894812531)-π/2
    2×0.969484589237487-π/2
    1.93896917847497-1.57079632675     		φ = 0.36817285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20072346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.796387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36817285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.094750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22646 KachelY 14419 1.20072346 0.36817285 68.796387 21.094750
    Oben rechts KachelX + 1 22647 KachelY 14419 1.20091521 0.36817285 68.807373 21.094750
    Unten links KachelX 22646 KachelY + 1 14420 1.20072346 0.36799395 68.796387 21.084500
    Unten rechts KachelX + 1 22647 KachelY + 1 14420 1.20091521 0.36799395 68.807373 21.084500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36817285-0.36799395) × R
    0.000178899999999982 × 6371000     		dl = 1139.77189999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36817285-0.36799395) × R
    0.000178899999999982 × 6371000     		dr = 1139.77189999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20072346-1.20091521) × cos(0.36817285) × R
    0.000191749999999935 × 0.932986514598589 × 6371000     		do = 1139.77294595395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20072346-1.20091521) × cos(0.36799395) × R
    0.000191749999999935 × 0.933050887804499 × 6371000     		du = 1139.85158678894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36817285)-sin(0.36799395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932986514598589-0.933050887804499)×R²
    abs(1.20091521-1.20072346)×6.43732059103508e-05×R²
    0.000191749999999935×6.43732059103508e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.43732059103508e-05×40589641000000     		ar = 1299125.99595023m²