Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 22642 / 14386
↖ ↑ ↗
← N 21.432617°
E 68.752441°		 ← 1 137.16 m → N 21.432617°
E 68.763428°		 →
↑
1 137.16 m
↓
↑
1 137.16 m
↓
N 21.422390°
E 68.752441°		 ← 1 137.24 m →
1 293 178 m²		 N 21.422390°
E 68.763428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690994262695312 y=0.439041137695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690994262695312 × 215)
    floor (0.690994262695312 × 32768)
    floor (22642.5)     		tx = 22642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439041137695312 × 215)
    floor (0.439041137695312 × 32768)
    floor (14386.5)     		ty = 14386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22642 / 14386 ti = "15/22642/14386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22642/14386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22642 ÷ 215
    22642 ÷ 32768     		x = 0.69097900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14386 ÷ 215
    14386 ÷ 32768     		y = 0.43902587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69097900390625 × 2 - 1) × π
    0.3819580078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19995647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43902587890625 × 2 - 1) × π
    0.1219482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.383111701763489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19995647} λ = 1.19995647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.383111701763489))-π/2
    2×atan(1.46684186974125)-π/2
    2×0.972433029194148-π/2
    1.9448660583883-1.57079632675     		φ = 0.37406973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19995647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.752441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37406973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.432617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22642 KachelY 14386 1.19995647 0.37406973 68.752441 21.432617
    Oben rechts KachelX + 1 22643 KachelY 14386 1.20014822 0.37406973 68.763428 21.432617
    Unten links KachelX 22642 KachelY + 1 14387 1.19995647 0.37389124 68.752441 21.422390
    Unten rechts KachelX + 1 22643 KachelY + 1 14387 1.20014822 0.37389124 68.763428 21.422390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37406973-0.37389124) × R
    0.000178489999999976 × 6371000     		dl = 1137.15978999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37406973-0.37389124) × R
    0.000178489999999976 × 6371000     		dr = 1137.15978999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19995647-1.20014822) × cos(0.37406973) × R
    0.000191749999999935 × 0.930847951577126 × 6371000     		do = 1137.16039342833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19995647-1.20014822) × cos(0.37389124) × R
    0.000191749999999935 × 0.930913158199329 × 6371000     		du = 1137.24005239737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37406973)-sin(0.37389124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930847951577126-0.930913158199329)×R²
    abs(1.20014822-1.19995647)×6.52066222034398e-05×R²
    0.000191749999999935×6.52066222034398e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.52066222034398e-05×40589641000000     		ar = 1293178.37010874m²