Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22641 / 14414
↖ ↑ ↗
← N 21.145992°
E 68.741455°		 ← 1 139.38 m → N 21.145992°
E 68.752441°		 →
↑
1 139.45 m
↓
↑
1 139.45 m
↓
N 21.135745°
E 68.741455°		 ← 1 139.46 m →
1 298 314 m²		 N 21.135745°
E 68.752441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690963745117188 y=0.439895629882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690963745117188 × 215)
    floor (0.690963745117188 × 32768)
    floor (22641.5)     		tx = 22641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439895629882812 × 215)
    floor (0.439895629882812 × 32768)
    floor (14414.5)     		ty = 14414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22641 / 14414 ti = "15/22641/14414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22641/14414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22641 ÷ 215
    22641 ÷ 32768     		x = 0.690948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14414 ÷ 215
    14414 ÷ 32768     		y = 0.43988037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690948486328125 × 2 - 1) × π
    0.38189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19976472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43988037109375 × 2 - 1) × π
    0.1202392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.377742769006042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19976472} λ = 1.19976472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377742769006042))-π/2
    2×atan(1.45898759777272)-π/2
    2×0.969931756832133-π/2
    1.93986351366427-1.57079632675     		φ = 0.36906719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19976472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.741455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36906719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.145992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22641 KachelY 14414 1.19976472 0.36906719 68.741455 21.145992
    Oben rechts KachelX + 1 22642 KachelY 14414 1.19995647 0.36906719 68.752441 21.145992
    Unten links KachelX 22641 KachelY + 1 14415 1.19976472 0.36888834 68.741455 21.135745
    Unten rechts KachelX + 1 22642 KachelY + 1 14415 1.19995647 0.36888834 68.752441 21.135745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36906719-0.36888834) × R
    0.000178850000000008 × 6371000     		dl = 1139.45335000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36906719-0.36888834) × R
    0.000178850000000008 × 6371000     		dr = 1139.45335000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19976472-1.19995647) × cos(0.36906719) × R
    0.000191750000000157 × 0.932664258423144 × 6371000     		do = 1139.37926516279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19976472-1.19995647) × cos(0.36888834) × R
    0.000191750000000157 × 0.932728762854943 × 6371000     		du = 1139.45806630847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36906719)-sin(0.36888834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932664258423144-0.932728762854943)×R²
    abs(1.19995647-1.19976472)×6.45044317995058e-05×R²
    0.000191750000000157×6.45044317995058e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.45044317995058e-05×40589641000000     		ar = 1298314.41918561m²