Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22640 / 14481
↖ ↑ ↗
← N 20.457896°
E 68.730469°		 ← 1 144.53 m → N 20.457896°
E 68.741455°		 →
↑
1 144.61 m
↓
↑
1 144.61 m
↓
N 20.447603°
E 68.730469°		 ← 1 144.61 m →
1 310 089 m²		 N 20.447603°
E 68.741455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690933227539062 y=0.441940307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690933227539062 × 215)
    floor (0.690933227539062 × 32768)
    floor (22640.5)     		tx = 22640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441940307617188 × 215)
    floor (0.441940307617188 × 32768)
    floor (14481.5)     		ty = 14481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22640 / 14481 ti = "15/22640/14481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22640/14481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22640 ÷ 215
    22640 ÷ 32768     		x = 0.69091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14481 ÷ 215
    14481 ÷ 32768     		y = 0.441925048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69091796875 × 2 - 1) × π
    0.3818359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19957298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441925048828125 × 2 - 1) × π
    0.11614990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.364895679907867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19957298} λ = 1.19957298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364895679907867))-π/2
    2×atan(1.44036374143322)-π/2
    2×0.96392698636089-π/2
    1.92785397272178-1.57079632675     		φ = 0.35705765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19957298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.730469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35705765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.457896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22640 KachelY 14481 1.19957298 0.35705765 68.730469 20.457896
    Oben rechts KachelX + 1 22641 KachelY 14481 1.19976472 0.35705765 68.741455 20.457896
    Unten links KachelX 22640 KachelY + 1 14482 1.19957298 0.35687799 68.730469 20.447603
    Unten rechts KachelX + 1 22641 KachelY + 1 14482 1.19976472 0.35687799 68.741455 20.447603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35705765-0.35687799) × R
    0.000179660000000026 × 6371000     		dl = 1144.61386000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35705765-0.35687799) × R
    0.000179660000000026 × 6371000     		dr = 1144.61386000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19957298-1.19976472) × cos(0.35705765) × R
    0.000191739999999996 × 0.936929285047957 × 6371000     		do = 1144.52989732425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19957298-1.19976472) × cos(0.35687799) × R
    0.000191739999999996 × 0.936992064505939 × 6371000     		du = 1144.60658717453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35705765)-sin(0.35687799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936929285047957-0.936992064505939)×R²
    abs(1.19976472-1.19957298)×6.2779457982387e-05×R²
    0.000191739999999996×6.2779457982387e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.2779457982387e-05×40589641000000     		ar = 1310088.67731858m²