Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22640 / 14418
↖ ↑ ↗
← N 21.105000°
E 68.730469°		 ← 1 139.63 m → N 21.105000°
E 68.741455°		 →
↑
1 139.71 m
↓
↑
1 139.71 m
↓
N 21.094750°
E 68.730469°		 ← 1 139.71 m →
1 298 896 m²		 N 21.094750°
E 68.741455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690933227539062 y=0.440017700195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690933227539062 × 215)
    floor (0.690933227539062 × 32768)
    floor (22640.5)     		tx = 22640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440017700195312 × 215)
    floor (0.440017700195312 × 32768)
    floor (14418.5)     		ty = 14418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22640 / 14418 ti = "15/22640/14418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22640/14418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22640 ÷ 215
    22640 ÷ 32768     		x = 0.69091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14418 ÷ 215
    14418 ÷ 32768     		y = 0.44000244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69091796875 × 2 - 1) × π
    0.3818359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19957298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44000244140625 × 2 - 1) × π
    0.1199951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.376975778612122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19957298} λ = 1.19957298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376975778612122))-π/2
    2×atan(1.45786899733311)-π/2
    2×0.969574035112286-π/2
    1.93914807022457-1.57079632675     		φ = 0.36835174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19957298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.730469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36835174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.105000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22640 KachelY 14418 1.19957298 0.36835174 68.730469 21.105000
    Oben rechts KachelX + 1 22641 KachelY 14418 1.19976472 0.36835174 68.741455 21.105000
    Unten links KachelX 22640 KachelY + 1 14419 1.19957298 0.36817285 68.730469 21.094750
    Unten rechts KachelX + 1 22641 KachelY + 1 14419 1.19976472 0.36817285 68.741455 21.094750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36835174-0.36817285) × R
    0.000178889999999987 × 6371000     		dl = 1139.70818999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36835174-0.36817285) × R
    0.000178889999999987 × 6371000     		dr = 1139.70818999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19957298-1.19976472) × cos(0.36835174) × R
    0.000191739999999996 × 0.932922115133032 × 6371000     		do = 1139.63483657155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19957298-1.19976472) × cos(0.36817285) × R
    0.000191739999999996 × 0.932986514598589 × 6371000     		du = 1139.71350538346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36835174)-sin(0.36817285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932922115133032-0.932986514598589)×R²
    abs(1.19976472-1.19957298)×6.43994655573632e-05×R²
    0.000191739999999996×6.43994655573632e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.43994655573632e-05×40589641000000     		ar = 1298895.99005859m²