Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22639 / 14416
↖ ↑ ↗
← N 21.125498°
E 68.719483°		 ← 1 139.54 m → N 21.125498°
E 68.730469°		 →
↑
1 139.58 m
↓
↑
1 139.58 m
↓
N 21.115249°
E 68.719483°		 ← 1 139.62 m →
1 298 639 m²		 N 21.115249°
E 68.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690902709960938 y=0.439956665039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690902709960938 × 215)
    floor (0.690902709960938 × 32768)
    floor (22639.5)     		tx = 22639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439956665039062 × 215)
    floor (0.439956665039062 × 32768)
    floor (14416.5)     		ty = 14416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22639 / 14416 ti = "15/22639/14416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22639/14416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22639 ÷ 215
    22639 ÷ 32768     		x = 0.690887451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14416 ÷ 215
    14416 ÷ 32768     		y = 0.43994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690887451171875 × 2 - 1) × π
    0.38177490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19938123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43994140625 × 2 - 1) × π
    0.1201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.377359273809082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19938123} λ = 1.19938123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377359273809082))-π/2
    2×atan(1.45842819030845)-π/2
    2×0.969752908332948-π/2
    1.9395058166659-1.57079632675     		φ = 0.36870949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19938123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.719483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36870949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.125498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22639 KachelY 14416 1.19938123 0.36870949 68.719483 21.125498
    Oben rechts KachelX + 1 22640 KachelY 14416 1.19957298 0.36870949 68.730469 21.125498
    Unten links KachelX 22639 KachelY + 1 14417 1.19938123 0.36853062 68.719483 21.115249
    Unten rechts KachelX + 1 22640 KachelY + 1 14417 1.19957298 0.36853062 68.730469 21.115249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36870949-0.36853062) × R
    0.000178869999999998 × 6371000     		dl = 1139.58076999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36870949-0.36853062) × R
    0.000178869999999998 × 6371000     		dr = 1139.58076999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19938123-1.19957298) × cos(0.36870949) × R
    0.000191749999999935 × 0.932793237451247 × 6371000     		do = 1139.53683100463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19938123-1.19957298) × cos(0.36853062) × R
    0.000191749999999935 × 0.932857689414895 × 6371000     		du = 1139.61556805316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36870949)-sin(0.36853062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932793237451247-0.932857689414895)×R²
    abs(1.19957298-1.19938123)×6.44519636479046e-05×R²
    0.000191749999999935×6.44519636479046e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.44519636479046e-05×40589641000000     		ar = 1298639.12639498m²