Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22639 / 14415
↖ ↑ ↗
← N 21.135745°
E 68.719483°		 ← 1 139.46 m → N 21.135745°
E 68.730469°		 →
↑
1 139.45 m
↓
↑
1 139.45 m
↓
N 21.125498°
E 68.719483°		 ← 1 139.54 m →
1 298 404 m²		 N 21.125498°
E 68.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690902709960938 y=0.439926147460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690902709960938 × 215)
    floor (0.690902709960938 × 32768)
    floor (22639.5)     		tx = 22639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439926147460938 × 215)
    floor (0.439926147460938 × 32768)
    floor (14415.5)     		ty = 14415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22639 / 14415 ti = "15/22639/14415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22639/14415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22639 ÷ 215
    22639 ÷ 32768     		x = 0.690887451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14415 ÷ 215
    14415 ÷ 32768     		y = 0.439910888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690887451171875 × 2 - 1) × π
    0.38177490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19938123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439910888671875 × 2 - 1) × π
    0.12017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.377551021407562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19938123} λ = 1.19938123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377551021407562))-π/2
    2×atan(1.45870786722432)-π/2
    2×0.969842335673942-π/2
    1.93968467134788-1.57079632675     		φ = 0.36888834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19938123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.719483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36888834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.135745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22639 KachelY 14415 1.19938123 0.36888834 68.719483 21.135745
    Oben rechts KachelX + 1 22640 KachelY 14415 1.19957298 0.36888834 68.730469 21.135745
    Unten links KachelX 22639 KachelY + 1 14416 1.19938123 0.36870949 68.719483 21.125498
    Unten rechts KachelX + 1 22640 KachelY + 1 14416 1.19957298 0.36870949 68.730469 21.125498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36888834-0.36870949) × R
    0.000178850000000008 × 6371000     		dl = 1139.45335000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36888834-0.36870949) × R
    0.000178850000000008 × 6371000     		dr = 1139.45335000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19938123-1.19957298) × cos(0.36888834) × R
    0.000191749999999935 × 0.932728762854943 × 6371000     		do = 1139.45806630715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19938123-1.19957298) × cos(0.36870949) × R
    0.000191749999999935 × 0.932793237451247 × 6371000     		du = 1139.53683100463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36888834)-sin(0.36870949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932728762854943-0.932793237451247)×R²
    abs(1.19957298-1.19938123)×6.44745963038762e-05×R²
    0.000191749999999935×6.44745963038762e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.44745963038762e-05×40589641000000     		ar = 1298404.18864877m²