Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22637 / 14380
↖ ↑ ↗
← N 21.493963°
E 68.697510°		 ← 1 136.68 m → N 21.493963°
E 68.708496°		 →
↑
1 136.71 m
↓
↑
1 136.71 m
↓
N 21.483741°
E 68.697510°		 ← 1 136.76 m →
1 292 127 m²		 N 21.483741°
E 68.708496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690841674804688 y=0.438858032226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690841674804688 × 215)
    floor (0.690841674804688 × 32768)
    floor (22637.5)     		tx = 22637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438858032226562 × 215)
    floor (0.438858032226562 × 32768)
    floor (14380.5)     		ty = 14380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22637 / 14380 ti = "15/22637/14380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22637/14380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22637 ÷ 215
    22637 ÷ 32768     		x = 0.690826416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14380 ÷ 215
    14380 ÷ 32768     		y = 0.4388427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690826416015625 × 2 - 1) × π
    0.38165283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19899773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4388427734375 × 2 - 1) × π
    0.122314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.38426218735437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19899773} λ = 1.19899773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.38426218735437))-π/2
    2×atan(1.46853042131737)-π/2
    2×0.972968380131922-π/2
    1.94593676026384-1.57079632675     		φ = 0.37514043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19899773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.697510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37514043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.493963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22637 KachelY 14380 1.19899773 0.37514043 68.697510 21.493963
    Oben rechts KachelX + 1 22638 KachelY 14380 1.19918948 0.37514043 68.708496 21.493963
    Unten links KachelX 22637 KachelY + 1 14381 1.19899773 0.37496201 68.697510 21.483741
    Unten rechts KachelX + 1 22638 KachelY + 1 14381 1.19918948 0.37496201 68.708496 21.483741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37514043-0.37496201) × R
    0.000178420000000012 × 6371000     		dl = 1136.71382000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37514043-0.37496201) × R
    0.000178420000000012 × 6371000     		dr = 1136.71382000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19899773-1.19918948) × cos(0.37514043) × R
    0.000191749999999935 × 0.930456177086146 × 6371000     		do = 1136.681786333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19899773-1.19918948) × cos(0.37496201) × R
    0.000191749999999935 × 0.930521535934218 × 6371000     		du = 1136.76163126714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37514043)-sin(0.37496201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930456177086146-0.930521535934218)×R²
    abs(1.19918948-1.19899773)×6.53588480714618e-05×R²
    0.000191749999999935×6.53588480714618e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.53588480714618e-05×40589641000000     		ar = 1292127.27931496m²