Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22632 / 14382
↖ ↑ ↗
← N 21.473517°
E 68.642578°		 ← 1 136.78 m → N 21.473517°
E 68.653564°		 →
↑
1 136.84 m
↓
↑
1 136.84 m
↓
N 21.463294°
E 68.642578°		 ← 1 136.86 m →
1 292 386 m²		 N 21.463294°
E 68.653564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690689086914062 y=0.438919067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690689086914062 × 215)
    floor (0.690689086914062 × 32768)
    floor (22632.5)     		tx = 22632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438919067382812 × 215)
    floor (0.438919067382812 × 32768)
    floor (14382.5)     		ty = 14382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22632 / 14382 ti = "15/22632/14382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22632/14382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22632 ÷ 215
    22632 ÷ 32768     		x = 0.690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14382 ÷ 215
    14382 ÷ 32768     		y = 0.43890380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690673828125 × 2 - 1) × π
    0.38134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19803900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43890380859375 × 2 - 1) × π
    0.1221923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.38387869215741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19803900} λ = 1.19803900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.38387869215741))-π/2
    2×atan(1.46796735492773)-π/2
    2×0.972789954863186-π/2
    1.94557990972637-1.57079632675     		φ = 0.37478358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19803900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.642578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37478358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.473517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22632 KachelY 14382 1.19803900 0.37478358 68.642578 21.473517
    Oben rechts KachelX + 1 22633 KachelY 14382 1.19823074 0.37478358 68.653564 21.473517
    Unten links KachelX 22632 KachelY + 1 14383 1.19803900 0.37460514 68.642578 21.463294
    Unten rechts KachelX + 1 22633 KachelY + 1 14383 1.19823074 0.37460514 68.653564 21.463294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37478358-0.37460514) × R
    0.000178440000000002 × 6371000     		dl = 1136.84124000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37478358-0.37460514) × R
    0.000178440000000002 × 6371000     		dr = 1136.84124000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19803900-1.19823074) × cos(0.37478358) × R
    0.000191739999999996 × 0.930586868821061 × 6371000     		do = 1136.78215679697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19803900-1.19823074) × cos(0.37460514) × R
    0.000191739999999996 × 0.930652175739614 × 6371000     		du = 1136.86193413127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37478358)-sin(0.37460514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930586868821061-0.930652175739614)×R²
    abs(1.19823074-1.19803900)×6.53069185531097e-05×R²
    0.000191739999999996×6.53069185531097e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.53069185531097e-05×40589641000000     		ar = 1292386.187254m²