Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22627 / 14385
↖ ↑ ↗
← N 21.442843°
E 68.587647°		 ← 1 137.02 m → N 21.442843°
E 68.598633°		 →
↑
1 137.10 m
↓
↑
1 137.10 m
↓
N 21.432617°
E 68.587647°		 ← 1 137.10 m →
1 292 948 m²		 N 21.432617°
E 68.598633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690536499023438 y=0.439010620117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690536499023438 × 215)
    floor (0.690536499023438 × 32768)
    floor (22627.5)     		tx = 22627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439010620117188 × 215)
    floor (0.439010620117188 × 32768)
    floor (14385.5)     		ty = 14385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22627 / 14385 ti = "15/22627/14385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22627/14385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22627 ÷ 215
    22627 ÷ 32768     		x = 0.690521240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14385 ÷ 215
    14385 ÷ 32768     		y = 0.438995361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690521240234375 × 2 - 1) × π
    0.38104248046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19708026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438995361328125 × 2 - 1) × π
    0.12200927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.383303449361969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19708026} λ = 1.19708026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.383303449361969))-π/2
    2×atan(1.46712316011464)-π/2
    2×0.972522269996848-π/2
    1.9450445399937-1.57079632675     		φ = 0.37424821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19708026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.587647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37424821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.442843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22627 KachelY 14385 1.19708026 0.37424821 68.587647 21.442843
    Oben rechts KachelX + 1 22628 KachelY 14385 1.19727200 0.37424821 68.598633 21.442843
    Unten links KachelX 22627 KachelY + 1 14386 1.19708026 0.37406973 68.587647 21.432617
    Unten rechts KachelX + 1 22628 KachelY + 1 14386 1.19727200 0.37406973 68.598633 21.432617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37424821-0.37406973) × R
    0.000178480000000036 × 6371000     		dl = 1137.09608000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37424821-0.37406973) × R
    0.000178480000000036 × 6371000     		dr = 1137.09608000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19708026-1.19727200) × cos(0.37424821) × R
    0.000191739999999996 × 0.930782718955064 × 6371000     		do = 1137.02140253018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19708026-1.19727200) × cos(0.37406973) × R
    0.000191739999999996 × 0.930847951577126 × 6371000     		du = 1137.1010891057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37424821)-sin(0.37406973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930782718955064-0.930847951577126)×R²
    abs(1.19727200-1.19708026)×6.52326220615951e-05×R²
    0.000191739999999996×6.52326220615951e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.52326220615951e-05×40589641000000     		ar = 1292947.8887721m²